Analiza szeregu Fouriera wykładniczego

Szeregi Fouriera na pierwszy rzut oka

Czasowy sygnał ciągły x(t) jest okresowy, jeśli istnieje dodatnia, niezerowa wartość T, dla której

Jak wiadomo, każdy sygnał okresowy można sklasyfikować jako harmonicznie powiązane sinusoidy lub zespolone wykładniki, pod warunkiem, że spełnia on Warunki Dirichleta. Ta zdekomponowana reprezentacja nazywana jest SZEREGIEM FOURIERA.
Istnieją dwa typy szeregów Fouriera. Oba są równoważne.

• Wykładnicze szeregi Fouriera

• Trygonometryczne szeregi Fouriera

Obie reprezentacje dają ten sam wynik. W zależności od rodzaju sygnału wybieramy dowolną z tych reprezentacji, która jest dla nas najwygodniejsza.

Sygnał okresowy analizowany jest w kategoriach Wykładniczych Szeregów Fouriera w trzech następujących etapach:

1. Reprezentacja Sygnału Okresowego.

2. Widmo amplitudowe i fazowe sygnału okresowego.

3. Moc sygnału okresowego.

Reprezentacja Sygnału Okresowego

Sygnał okresowy w szeregach Fouriera może być reprezentowany w dwóch różnych domenach czasowych:

1. Domena czasu ciągłego.

2. Domena czasu dyskretnego.

Domena czasu ciągłego

Zespolona wykładnicza reprezentacja szeregów Fouriera sygnału okresowego x(t) o podstawowym okresie To dana jest przez

Gdzie, C to znane jako zespolony współczynnik Fouriera i dane jest przez,

Gdzie ∫0To, oznacza całkę po jednym okresie, a 0 do To lub –To/2 do To/2 to granice często używane do całkowania.
Równanie (3) można wyprowadzić mnożąc obie strony równania (2) przez e(-jlωot) i całkując przez okres czasu po obu stronach.

Przez zamianę kolejności sumowania i całkowania po prawej stronie, otrzymujemy



Kiedy, k≠l, prawa strona (5) oceniona przy dolnej i górnej granicy daje zero. Z drugiej strony, jeśli k=l, mamy

W konsekwencji równanie (4) redukuje się do



co wskazuje na średnią wartość x(t) w ciągu okresu.
Kiedy x (t) jest rzeczywiste,

Gdzie, * oznacza sprzężenie

Domena czasu dyskretnego

Reprezentacja Fouriera w dziedzinie dyskretnej jest bardzo podobna do reprezentacji Fouriera sygnału okresowego w dziedzinie czasu ciągłego.
Zespolona reprezentacja szeregów Fouriera sygnału okresowego x[n] o podstawowym okresie No dana jest przez
Gdzie, Ck, to współczynniki Fouriera i dane są przez

To można wyprowadzić w taki sam sposób, jak w dziedzinie czasu ciągłego.

Widmo amplitudowe i fazowe sygnału okresowego

Możemy wyrazić zespolony współczynnik Fouriera, Ck jako

Wykres |Ck| względem częstotliwości kątowej w nazywany jest widmem amplitudowym sygnału okresowego x(t), a wykres Фk, względem w nazywany jest widmem fazowym x(t). Ponieważ indeks k przyjmuje tylko liczby całkowite, widma amplitudowe i fazowe nie są ciągłymi krzywymi, ale pojawiają się tylko w dyskretnych częstotliwościach kωo, stąd nazywane są one dyskretnymi widmami częstotliwościowymi lub widmami liniowymi.
Dla rzeczywistego sygnału okresowego x (t) mamy C-k = C