Modelagem Matemática de Sistema de Controle | Mecânica Elétrica

Modelagem Matemática de Sistemas de Controle

Existem vários tipos de sistemas físicos, a saber, temos:

1. Sistemas mecânicos

2. Sistemas elétricos

3. Sistemas eletrônicos

4. Sistemas térmicos

5. Sistemas hidráulicos

6. Sistemas químicos

Primeiramente, precisamos entender - por que precisamos modelar esses sistemas em primeiro lugar? A modelagem matemática de um sistema de controle é o processo de desenhar os diagramas de blocos para esses tipos de sistemas a fim de determinar seu desempenho e funções de transferência.

Agora, vamos descrever em detalhes os sistemas do tipo mecânico e elétrico. Vamos derivar analogias apenas entre os sistemas mecânicos e elétricos, que são as mais importantes para a compreensão da teoria de sistemas de controle.

Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos

Temos dois tipos de sistemas mecânicos. O sistema mecânico pode ser um sistema mecânico linear ou pode ser um sistema mecânico rotativo.
Nos sistemas mecânicos lineares, temos três variáveis:

1. Força, representada por ‘F’

2. Velocidade, representada por ‘V’

3. Deslocamento linear, representado por ‘X’

E também temos três parâmetros:

1. Massa, representada por ‘M’

2. Coeficiente de atrito viscoso, representado por ‘B’

3. Constante da mola, representada por ‘K’

Nos sistemas mecânicos rotativos temos três variáveis:

1. Torque, representado por ‘T’

2. Velocidade angular, representada por ‘ω’

3. Deslocamento angular, representado por ‘θ’

E também temos dois parâmetros :

1. Momento de inércia, representado por ‘J’

2. Coeficiente de atrito viscoso, representado por ‘B’

Agora, consideremos o sistema mecânico de deslocamento linear mostrado abaixo-

Já marcamos várias variáveis no próprio diagrama. Temos x como o deslocamento, conforme mostrado no diagrama. De acordo com a segunda lei de Newton do movimento, podemos escrever a força como-

Do diagrama abaixo, podemos ver que:

Substituindo os valores de F1, F2 e F3 na equação acima e tomando a transformada de Laplace, temos a função de transferência como,

Esta equação é a modelagem matemática de um sistema de controle mecânico.

Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos

Nos sistemas do tipo elétrico temos três variáveis –

1. Voltagem, representada por ‘V’.

2. Corrente, representada por ‘I’.

3. Carga, representada por ‘Q’.

E também temos três parâmetros, que são componentes ativos e passivos:

1. Resistência, representada por ‘R’.

2. Capacitância, representada por ‘C’.

3. Indutância, representada por ‘L’.

Agora, estamos em condições de derivar a analogia entre os sistemas elétricos e mecânicos. Existem dois tipos de analogias e estão escritas abaixo:
Analogia Força-Voltagem : Para entender este tipo de analogia, consideremos um circuito que consiste em uma combinação em série de resistor, indutor e capacitor.

Uma voltagem V está conectada em série com esses elementos, conforme mostrado no diagrama do circuito. Agora, a partir do diagrama do circuito e com a ajuda da equação KVL, escrevemos a expressão para a voltagem em termos de carga, resistência, capacitância e indutância como,

Comparando o acima com o que derivamos para o sistema mecânico, encontramos que-

1. Massa (M) é análoga à indutância (L).

2. Força é análoga à voltagem V.

3. Deslocamento (x) é análogo à carga (Q).

4. Coeficiente de atrito (B) é análogo à resistência R e

5. Constante da mola é análoga ao inverso do capacitor (C).

Esta analogia é conhecida como analogia força-voltagem.
Analogia Força-Corrente : Para entender este tipo de analogia, consideremos um circuito que consiste em uma combinação em paralelo de resistor, indutor e capacitor.

Uma voltagem E está conectada em paralelo com esses elementos, conforme mostrado no diagrama do circuito. Agora, a partir do diagrama do circuito e com a ajuda da equação KCL, escrevemos a expressão para a corrente em termos de fluxo, resistência, capacitância e indutância como,