Modelagem Matemática de Sistema de Controle | Mecânica Elétrica
Modelagem Matemática de Sistemas de Controle
Existem vários tipos de sistemas físicos, a saber, temos:
Sistemas mecânicos
Sistemas elétricos
Sistemas eletrônicos
Sistemas térmicos
Sistemas hidráulicos
Sistemas químicos
Primeiramente, precisamos entender - por que precisamos modelar esses sistemas em primeiro lugar? A modelagem matemática de um sistema de controle é o processo de desenhar os diagramas de blocos para esses tipos de sistemas a fim de determinar seu desempenho e funções de transferência.
Agora, vamos descrever em detalhes os sistemas do tipo mecânico e elétrico. Vamos derivar analogias apenas entre os sistemas mecânicos e elétricos, que são as mais importantes para a compreensão da teoria de sistemas de controle.
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos
Temos dois tipos de sistemas mecânicos. O sistema mecânico pode ser um sistema mecânico linear ou pode ser um sistema mecânico rotativo.
Nos sistemas mecânicos lineares, temos três variáveis:
Força, representada por ‘F’
Velocidade, representada por ‘V’
Deslocamento linear, representado por ‘X’
E também temos três parâmetros:
Massa, representada por ‘M’
Coeficiente de atrito viscoso, representado por ‘B’
Constante da mola, representada por ‘K’
Nos sistemas mecânicos rotativos temos três variáveis:
Torque, representado por ‘T’
Velocidade angular, representada por ‘ω’
Deslocamento angular, representado por ‘θ’
E também temos dois parâmetros :
Momento de inércia, representado por ‘J’
Coeficiente de atrito viscoso, representado por ‘B’
Agora, consideremos o sistema mecânico de deslocamento linear mostrado abaixo-
Já marcamos várias variáveis no próprio diagrama. Temos x como o deslocamento, conforme mostrado no diagrama. De acordo com a segunda lei de Newton do movimento, podemos escrever a força como-
Do diagrama abaixo, podemos ver que:
Substituindo os valores de F1, F2 e F3 na equação acima e tomando a transformada de Laplace, temos a função de transferência como,
Esta equação é a modelagem matemática de um sistema de controle mecânico.
Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos
Nos sistemas do tipo elétrico temos três variáveis –
Voltagem, representada por ‘V’.
Corrente, representada por ‘I’.
Carga, representada por ‘Q’.
E também temos três parâmetros, que são componentes ativos e passivos:
Resistência, representada por ‘R’.
Capacitância, representada por ‘C’.
Indutância, representada por ‘L’.
Agora, estamos em condições de derivar a analogia entre os sistemas elétricos e mecânicos. Existem dois tipos de analogias e estão escritas abaixo:
Analogia Força-Voltagem : Para entender este tipo de analogia, consideremos um circuito que consiste em uma combinação em série de resistor, indutor e capacitor.
Uma voltagem V está conectada em série com esses elementos, conforme mostrado no diagrama do circuito. Agora, a partir do diagrama do circuito e com a ajuda da equação KVL, escrevemos a expressão para a voltagem em termos de carga, resistência, capacitância e indutância como,
Comparando o acima com o que derivamos para o sistema mecânico, encontramos que-
Massa (M) é análoga à indutância (L).
Força é análoga à voltagem V.
Deslocamento (x) é análogo à carga (Q).
Coeficiente de atrito (B) é análogo à resistência R e
Constante da mola é análoga ao inverso do capacitor (C).
Esta analogia é conhecida como analogia força-voltagem.
Analogia Força-Corrente : Para entender este tipo de analogia, consideremos um circuito que consiste em uma combinação em paralelo de resistor, indutor e capacitor.
Uma voltagem E está conectada em paralelo com esses elementos, conforme mostrado no diagrama do circuito. Agora, a partir do diagrama do circuito e com a ajuda da equação KCL, escrevemos a expressão para a corrente em termos de fluxo, resistência, capacitância e indutância como,
