النمذجة الرياضية لنظام التحكم | الميكانيك الكهربائي

النمذجة الرياضية لنظام التحكم

هناك أنواع مختلفة من الأنظمة الفيزيائية، وهي:

1. الأنظمة الميكانيكية

2. الأنظمة الكهربائية

3. الأنظمة الإلكترونية

4. الأنظمة الحرارية

5. الأنظمة الهيدروليكية

6. الأنظمة الكيميائية

أولاً، نحتاج إلى فهم - لماذا نحتاج إلى نمذجة هذه الأنظمة في المقام الأول؟ النمذجة الرياضية لنظام التحكم هي عملية رسم مخططات الكتل لهذه الأنواع من الأنظمة لتحديد أدائها ووظائفها الإنتقالية.

الآن دعنا نصف الأنظمة الميكانيكية والكهربائية بشكل تفصيلي. سنستنتج التشبيهات بين النظام الميكانيكي والنظام الكهربائي فقط والتي تعتبر الأكثر أهمية في فهم نظرية نظام التحكم.

النمذجة الرياضية للأنظمة الميكانيكية

لدينا نوعان من الأنظمة الميكانيكية. قد يكون النظام الميكانيكي نظاماً خطياً أو قد يكون نظاماً دورانياً.
في النوع الخطي من الأنظمة الميكانيكية، لدينا ثلاثة متغيرات:

1. القوة، ممثلة بـ 'F'

2. السرعة، ممثلة بـ 'V'

3. الإزاحة الخطية، ممثلة بـ 'X'

وهناك أيضاً ثلاثة معلمات:

1. الكتلة، ممثلة بـ 'M'

2. معامل الاحتكاك اللزج، ممثل بـ 'B'

3. ثابت الربيع، ممثل بـ 'K'

في النوع الدوراني من الأنظمة الميكانيكية لدينا ثلاثة متغيرات:

1. عزم الدوران، ممثل بـ 'T'

2. السرعة الزاوية، ممثلة بـ 'ω'

3. إزاحة الزاوية، ممثلة بـ 'θ'

وهناك أيضاً معلمتان:

1. لحظة القصور الذاتي، ممثلة بـ 'J'

2. معامل الاحتكاك اللزج، ممثل بـ 'B'

الآن دعنا نعتبر النظام الميكانيكي ذو الإزاحة الخطية الذي يظهر أدناه-

لقد علمنا المتغيرات المختلفة في الرسم البياني نفسه. لدينا x كإزاحة كما هو موضح في الرسم البياني. من قانون نيوتن الثاني للحركة، يمكننا كتابة القوة على النحو التالي-

من الرسم البياني أدناه يمكننا رؤية أن:

بتعويض قيم F1, F2 و F3 في المعادلة أعلاه وتطبيق تحويل لابلاس نحصل على دالة التحويل كالتالي-

هذه المعادلة هي النمذجة الرياضية لنظام التحكم الميكانيكي.

النمذجة الرياضية للأنظمة الكهربائية

في النوع الكهربائي من الأنظمة لدينا ثلاثة متغيرات –

1. الجهد الكهربائي والذي يُمثل بـ 'V'.

2. التيار الكهربائي والذي يُمثل بـ 'I'.

3. الشحنة والتي يُمثلها 'Q'.

وهناك أيضاً ثلاثة معلمات وهي المكونات النشطة والسلبية:

1. المقاومة والتي يُمثلها 'R'.

2. السعة والتي يُمثلها 'C'.

3. الحث والذي يُمثل بـ 'L'.

الآن نحن مستعدون لاستنتاج التشبيه بين الأنظمة الكهربائية والميكانيكية. هناك نوعان من التشبيهات وهما مكتوبان أدناه:
تشبيه القوة بالجهد : لفهم هذا النوع من التشبيه، دعنا نعتبر دائرة تتكون من تركيب متوازي للمقاومة والحث والسعة.

تم توصيل جهد V بالتوازي مع هذه العناصر كما هو موضح في مخطط الدائرة. الآن من خلال مخطط الدائرة ومعادلة KVL نكتب التعبير عن الجهد بدلالة الشحنة والمقاومة والسعة والحث كما يلي-

والآن عند مقارنة ما سبق بما اشتقناه لنظام ميكانيكي نجد أن-

1. الكتلة (M) تشبيه للحث (L).

2. القوة تشبيه للجهد V.

3. الإزاحة (x) تشبيه للشحنة (Q).

4. معامل الاحتكاك (B) تشبيه للمقاومة R و

5. ثابت الربيع تشبيه للعكس السعة (C).

هذا التشبيه يعرف بتشبيه القوة بالجهد.
تشبيه القوة بالتيار : لفهم هذا النوع من التشبيه، دعنا نعتبر دائرة تتكون من تركيب متوازي للمقاومة والحث والسعة.

تم توصيل جهد E بالتوازي مع هذه العناصر كما هو موضح في مخطط الدائرة. الآن من خلال مخطط الدائرة ومعادلة KCL نكتب التعبير عن التيار بدلالة التدفق والمقاومة والسعة والحث كما يلي-