Matematisk modellering av styrsystem | Mekanisk el teknik

Matematisk modellering av styrsystem

Det finns olika typer av fysiska system, nämligen har vi:

1. Mekaniska system

2. Elektriska system

3. Elektroniska system

4. Termiska system

5. Hydrauliska system

6. Kemiska system

Först måste vi förstå – varför behöver vi modellera dessa system över huvud taget? Matematisk modellering av ett styrsystem är processen att rita blockdiagram för dessa typer av system för att bestämma deras prestanda och överföringsfunktioner.

Nu ska vi beskriva mekaniska och elektriska typer av system i detalj. Vi kommer att härleda analogier mellan mekaniska och elektriska system som är viktigast för att förstå teorin om styrsystem.

Matematisk modellering av mekaniska system

Vi har två typer av mekaniska system. Mekaniskt system kan vara en linjär mekanisk typ eller det kan vara en roterande mekanisk typ av system.
I en linjär mekanisk typ av system har vi tre variabler:

1. Kraft, representerad av 'F'

2. Hastighet, representerad av 'V'

3. Linjär förflyttning, representerad av 'X'

Och vi har också tre parametrar:

1. Massa, representerad av 'M'

2. Koefficienten för viskositetsfriktion, representerad av 'B'

3. Fjäderkonstanten, representerad av 'K'

I en roterande mekanisk typ av system har vi tre variabler:

1. Moment, representerat av 'T'

2. Vinkelhastighet, representerad av 'ω'

3. Vinkelförflyttning, representerad av 'θ'

Och vi har också två parametrar :

1. Tröghetsmoment, representerat av 'J'

2. Koefficienten för viskositetsfriktion, representerad av 'B'

Nu ska vi titta på det linjära förflyttningssystemet som visas nedan-

Vi har redan markerat olika variabler i diagrammet. Vi har x som förflyttningen som visas i diagrammet. Från Newtons andra rörelselag kan vi skriva kraften som-

Från diagrammet nedan kan vi se att:

Genom att ersätta värdena för F1, F2 och F3 i ovanstående ekvation och genom att ta Laplace-transformen får vi överföringsfunktionen som,

Denna ekvation är matematisk modellering av ett mekaniskt styrsystem.

Matematisk modellering av elektriska system

I en elektrisk typ av system har vi tre variabler –

1. Spänning som representeras av 'V'.

2. Ström som representeras av 'I'.

3. Laddning som representeras av 'Q'.

Och vi har också tre parametrar som är aktiva och passiva komponenter:

1. Motstånd som representeras av 'R'.

2. Kapacitans som representeras av 'C'.

3. Induktans som representeras av 'L'.

Nu är vi redo att härleda analogier mellan elektriska och mekaniska typer av system. Det finns två typer av analogier och de anges nedan:
Kraft-Spänningsanalogi : För att förstå denna typ av analogi, låt oss betrakta ett krets som består av seriekoppling av resistor, induktor och kondensator.

En spänning V är ansluten i serie med dessa element som visas i kretskartan. Nu från kretskartan och med hjälp av KVL-ekvationen skriver vi uttrycket för spänningen i termer av laddning, motstånd, kondensator och induktor som,

Nu jämför vi ovanstående med det vi har härlett för det mekaniska systemet och vi finner att-

1. Massa (M) är analog med induktans (L).

2. Kraft är analog med spänning V.

3. Förflyttning (x) är analog med laddning (Q).

4. Friktionskoefficient (B) är analog med motstånd R och

5. Fjäderkonstanten är analog med inversen av kondensatorn (C).

Denna analogi kallas kraft-spänningsanalogi.
Kraft-Strömsanalogi : För att förstå denna typ av analogi, låt oss betrakta ett krets som består av parallellkoppling av resistor, induktor och kondensator.

En spänning E är ansluten i parallel med dessa element som visas i kretskartan. Nu från kretskartan och med hjälp av KCL-ekvationen skriver vi uttrycket för ström i termer av flöde, motstånd, kondensator och induktor som,