مدل‌سازی ریاضی سیستم کنترل | مکانیک برق

مدل‌سازی ریاضی سیستم کنترل

انواع مختلفی از سیستم‌های فیزیکی وجود دارد، به عنوان مثال ما داریم:

1. سیستم‌های مکانیکی

2. سیستم‌های الکتریکی

3. سیستم‌های الکترونیکی

4. سیستم‌های حرارتی

5. سیستم‌های هیدرولیکی

6. سیستم‌های شیمیایی

ابتدا باید درک کنیم - چرا نیاز داریم این سیستم‌ها را مدل‌سازی کنیم؟ مدل‌سازی ریاضی یک سیستم کنترل فرآیند ترسیم دیاگرام‌های بلوکی برای این نوع سیستم‌ها است تا عملکرد و تابع انتقال آن‌ها تعیین شود.

حال بیایید سیستم‌های مکانیکی و الکتریکی را با جزئیات توصیف کنیم. تنها مشابهت‌های بین سیستم‌های مکانیکی و الکتریکی را که مهم‌ترین موارد در درک نظریه سیستم کنترل هستند، استخراج خواهیم کرد.

مدل‌سازی ریاضی سیستم‌های مکانیکی

دو نوع سیستم مکانیکی داریم. سیستم مکانیکی می‌تواند یک سیستم خطی مکانیکی یا یک سیستم دورانی مکانیکی باشد.
در یک سیستم مکانیکی خطی، ما سه متغیر داریم:

1. نیرو، که با 'F' نشان داده می‌شود

2. سرعت، که با 'V' نشان داده می‌شود

3. جابجایی خطی، که با 'X' نشان داده می‌شود

و همچنین سه پارامتر داریم:

1. جرم، که با 'M' نشان داده می‌شود

2. ضریب اصطکاک لزج، که با 'B' نشان داده می‌شود

3. ثابت فنر، که با 'K' نشان داده می‌شود

در یک سیستم مکانیکی دورانی ما سه متغیر داریم:

1. گشتاور، که با 'T' نشان داده می‌شود

2. سرعت زاویه‌ای، که با 'ω' نشان داده می‌شود

3. جابجایی زاویه‌ای، که با 'θ' نشان داده می‌شود

و همچنین دو پارامتر داریم:

1. گشتاور لختی، که با 'J' نشان داده می‌شود

2. ضریب اصطکاک لزج، که با 'B' نشان داده می‌شود

حال بیایید سیستم جابجایی خطی مکانیکی که در زیر نشان داده شده را در نظر بگیریم-

ما قبلاً متغیرهای مختلف را در نمودار مشخص کرده‌ایم. x جابجایی است که در نمودار نشان داده شده است. از قانون دوم حرکت نیوتن، می‌توانیم نیرو را بنویسیم-

از نمودار زیر می‌توانیم ببینیم:

با جایگذاری مقادیر F1, F2 و F3 در معادله بالا و گرفتن تبدیل لاپلاس، تابع انتقال را داریم-

این معادله مدل‌سازی ریاضی یک سیستم کنترل مکانیکی است.

مدل‌سازی ریاضی سیستم الکتریکی

در یک سیستم الکتریکی ما سه متغیر داریم –

1. ولتاژ که با 'V' نشان داده می‌شود.

2. جریان که با 'I' نشان داده می‌شود.

3. بار که با 'Q' نشان داده می‌شود.

و همچنین سه پارامتر داریم که عناصر فعال و غیرفعال هستند:

1. مقاومت که با 'R' نشان داده می‌شود.

2. ظرفیت که با 'C' نشان داده می‌شود.

3. الحاق که با 'L' نشان داده می‌شود.

حالا ما در وضعیتی هستیم که بتوانیم مشابهت بین سیستم‌های الکتریکی و مکانیکی را استخراج کنیم. دو نوع مشابهت وجود دارد و آن‌ها در زیر نوشته شده‌اند:
مشابهت نیرو-ولتاژ : برای درک این نوع مشابهت، یک مدار را در نظر بگیرید که شامل ترکیب سری مقاومت، الحاق و ظرفیت است.

یک ولتاژ V به صورت سری با این عناصر متصل شده است. حالا از نمودار مدار و با کمک معادله KVL، بیانیه ولتاژ را به صورت بار، مقاومت، ظرفیت و الحاق می‌نویسیم-

حالا با مقایسه آن با آنچه برای سیستم مکانیکی استخراج کرده‌ایم، می‌یابیم که-

1. جرم (M) مشابه الحاق (L) است.

2. نیرو مشابه ولتاژ V است.

3. جابجایی (