Matematyczne modelowanie systemu sterowania | Mechanika Elektryka

Matematyczne modelowanie systemu sterowania

Istnieje wiele rodzajów fizycznych systemów, mianowicie mamy:

1. Systemy mechaniczne

2. Systemy elektryczne

3. Systemy elektroniczne

4. Systemy termiczne

5. Systemy hydrauliczne

6. Systemy chemiczne

Po pierwsze musimy zrozumieć – dlaczego w ogóle musimy modelować te systemy? Matematyczne modelowanie systemu sterowania to proces tworzenia diagramów blokowych dla tych rodzajów systemów, aby określić ich wydajność i funkcje przekazania.

Teraz opiszmy szczegółowo systemy mechaniczne i elektryczne. Wyprowadzimy analogie między systemami mechanicznymi i elektrycznymi, które są najważniejsze do zrozumienia teorii systemów sterowania.

Matematyczne modelowanie systemów mechanicznych

Mamy dwa rodzaje systemów mechanicznych. System mechaniczny może być liniowym systemem mechanicznym lub może to być obrotowy system mechaniczny.
W liniowych systemach mechanicznych, mamy trzy zmienne:

1. Siła, oznaczona jako ‘F’

2. Prędkość, oznaczona jako ‘V’

3. Liniowe przemieszczenie, oznaczone jako ‘X’

Oraz mamy trzy parametry:

1. Masa, oznaczona jako ‘M’

2. Współczynnik lepkosci, oznaczony jako ‘B’

3. Stała sprężystości, oznaczona jako ‘K’

W obrotowych systemach mechanicznych mamy trzy zmienne:

1. Moment obrotowy, oznaczony jako ‘T’

2. Prędkość kątowa, oznaczona jako ‘ω’

3. Przemieszczenie kątowe, oznaczone jako ‘θ’

Oraz mamy dwa parametry :

1. Moment bezwładności, oznaczony jako ‘J’

2. Współczynnik lepkosci, oznaczony jako ‘B’

Rozważmy teraz liniowy system przemieszczeniowy mechaniczny, który jest pokazany poniżej-

Już oznaczyliśmy różne zmienne na schemacie. Mamy x jako przemieszczenie, jak pokazano na schemacie. Z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać siłę jako-

Z poniższego schematu widzimy, że:

Podstawiając wartości F1, F2 i F3 do powyższego równania i wykonując transformację Laplace'a, otrzymujemy transmitancję jako,

To równanie jest matematycznym modelem systemu sterowania mechanicznego.

Matematyczne modelowanie systemu elektrycznego

W systemach elektrycznych mamy trzy zmienne –

1. Napięcie, oznaczone jako ‘V’.

2. Prąd, oznaczony jako ‘I’.

3. Ładunek, oznaczony jako ‘Q’.

Oraz mamy trzy parametry, które są aktywnymi i pasywnymi komponentami:

1. Opór, oznaczony jako ‘R’.

2. Pojemność, oznaczona jako ‘C’.

3. Indukcyjność, oznaczona jako ‘L’.

Teraz jesteśmy w stanie wyprowadzić analogię między systemami elektrycznymi i mechanicznymi. Istnieją dwa rodzaje analogii, które są napisane poniżej:
Analogia siła-napięcie : Aby zrozumieć ten rodzaj analogii, rozważmy obwód, który składa się z szeregowego połączenia rezystora, cewki i kondensatora.

Napięcie V jest podłączone szeregowo do tych elementów, jak pokazano na schemacie obwodu. Teraz, korzystając z schematu obwodu i równania prawa Kirchhoffa dla napięć, zapisujemy wyrażenie na napięcie w zależności od ładunku, oporu, kondensatora i cewki jako,

Porównując powyższe z tym, co wyprowadziliśmy dla systemu mechanicznego, stwierdzamy, że-

1. Masa (M) jest analogiczna do indukcyjności (L).

2. Siła jest analogiczna do napięcia V.

3. Przemieszczenie (x) jest analogiczne do ładunku (Q).

4. Współczynnik tarcia (B) jest analogiczny do oporu R i

5. Stała sprężystości jest analogiczna do odwrotności kondensatora (C).

Ta analogia jest znana jako analogia siła-napięcie.
Analogia siła-prąd : Aby zrozumieć ten rodzaj analogii, rozważmy obwód, który składa się z równoległego połączenia rezystora, cewki i kondensatora.

Napięcie E jest podłączone równolegle do tych elementów, jak pokazano na schemacie obwodu. Teraz, korzystając z