Modelado Matemático de Sistema de Control | Mecánica Eléctrica
Modelización matemática de un sistema de control
Existen varios tipos de sistemas físicos, a saber:
Sistemas mecánicos
Sistemas eléctricos
Sistemas electrónicos
Sistemas térmicos
Sistemas hidráulicos
Sistemas químicos
En primer lugar, necesitamos entender ¿por qué necesitamos modelar estos sistemas en primer lugar? La modelización matemática de un sistema de control es el proceso de dibujar los diagramas de bloques para estos tipos de sistemas con el fin de determinar su rendimiento y funciones de transferencia.
Ahora describamos en detalle los sistemas de tipo mecánico y eléctrico. Derivaremos analogías solo entre los sistemas mecánicos y eléctricos, que son los más importantes para comprender la teoría del sistema de control.
Modelización matemática de sistemas mecánicos
Tenemos dos tipos de sistemas mecánicos. El sistema mecánico puede ser un sistema mecánico lineal o puede ser un sistema mecánico rotatorio.
En un sistema mecánico lineal, tenemos tres variables:
Fuerza, representada por ‘F’
Velocidad, representada por ‘V’
Desplazamiento lineal, representado por ‘X’
Y también tenemos tres parámetros:
Masa, representada por ‘M’
El coeficiente de fricción viscosa, representado por ‘B’
La constante de resorte, representada por ‘K’
En un sistema mecánico rotatorio tenemos tres variables:
Torque, representado por ‘T’
Velocidad angular, representada por ‘ω’
Desplazamiento angular, representado por ‘θ’
Y también tenemos dos parámetros :
Momento de inercia, representado por ‘J’
El coeficiente de fricción viscosa, representado por ‘B’
Ahora consideremos el sistema mecánico de desplazamiento lineal que se muestra a continuación-
Ya hemos marcado varias variables en el diagrama mismo. Tenemos x como el desplazamiento, tal como se muestra en el diagrama. Según la segunda ley de Newton del movimiento, podemos escribir la fuerza como-
Desde el diagrama a continuación podemos ver que:
Al sustituir los valores de F1, F2 y F3 en la ecuación anterior y tomando la transformada de Laplace, obtenemos la función de transferencia como,
Esta ecuación es la modelización matemática de un sistema de control mecánico.
Modelización matemática de un sistema eléctrico
En un sistema de tipo eléctrico tenemos tres variables –
Voltaje, representado por ‘V’.
Corriente, representada por ‘I’.
Carga, representada por ‘Q’.
Y también tenemos tres parámetros que son componentes activos y pasivos:
Resistencia, representada por ‘R’.
Capacitancia, representada por ‘C’.
Inductancia, representada por ‘L’.
Ahora estamos en condiciones de derivar analogías entre los sistemas de tipo eléctrico y mecánico. Hay dos tipos de analogías y se escriben a continuación:
Analogía Fuerza-Voltaje : Para entender este tipo de analogía, consideremos un circuito que consiste en una combinación en serie de resistencia, inductancia y capacitancia.
Un voltaje V está conectado en serie con estos elementos, como se muestra en el diagrama del circuito. Ahora, desde el diagrama del circuito y con la ayuda de la ecuación KVL, escribimos la expresión para el voltaje en términos de carga, resistencia, capacitancia e inductancia como,
Comparando lo anterior con lo que hemos derivado para el sistema mecánico, encontramos que-
Masa (M) es análoga a inductancia (L).
Fuerza es análoga al voltaje V.
Desplazamiento (x) es análogo a carga (Q).
Coeficiente de fricción (B) es análogo a resistencia R y
Constante de resorte es análoga al inverso de la capacitancia (C).
Esta analogía se conoce como analogía fuerza-voltaje.
Analogía Fuerza-Corriente : Para entender este tipo de analogía, consideremos un circuito que consiste en una combinación en paralelo de resistencia, inductancia y capacitancia.
Un voltaje E está conectado en paralelo con estos elementos, como se muestra en el diagrama del circuito. Ahora, desde el diagrama del circuito y con la ayuda de la ecuación KCL, escribimos la expresión para la corriente en términos de flujo, resistencia, capacitancia e inductancia como,
