Uchanganuzi wa Hisabati wa Mipango ya Kumiliki | Mekaniki na Umeme

Mathematical Modelling ya Mfumo wa Kudhibiti

Kuna aina mbalimbali za mifumo ya kibodi, hasa tuna:

1. Mifumo ya kimashine

2. Mifumo ya umeme

3. Mifumo ya elektroniki

4. Mifumo ya joto

5. Mifumo ya maji ya chombo

6. Mifumo ya kimya

Kwanza tunahitaji kuelewa – kwa nini tutahitaji kuandaa mifumo hii kwa ujumla? Mathematical modelling ya mfumo wa kudhibiti ni mchakato wa kutengeneza block diagrams kwa ajili ya aina hizi za mifumo ili kupata utendaji wao na transfer functions.

Sasa tutaelezea mifumo ya kimashine na umeme kwa undani. Tutapata analogies kati ya mifumo ya kimashine na umeme tu ambayo ni muhimu sana kuelewa teoria ya mfumo wa kudhibiti.

Mathematical Modelling ya Mifumo ya Kimashine

Tuna aina mbili za mifumo ya kimashine. Mifumo ya kimashine inaweza kuwa linear mechanical system au inaweza kuwa rotational mechanical type of system.
Katika aina ya mifumo ya kimashine linear, tuna vitu viwili:

1. Nguvu, inayorepresentea na ‘F’

2. Veliocity, inayorepresentea na ‘V’

3. Linear displacement, inayorepresentea na ‘X’

Na pia tuna parameta tatu:

1. Umbizo, inayorepresentea na ‘M’

2. The coefficient of viscous friction, inayorepresentea na ‘B’

3. The spring constant, inayorepresentea na ‘K’

Katika aina ya mifumo ya kimashine rotational tuna vitu viwili:

1. Torque, inayorepresentea na ‘T’

2. Angular velocity, inayorepresentea na ‘ω’

3. Angular displacement, inayorepresentea na ‘θ’

Na pia tuna parameta mbili :

1. Moment of inertia, inayorepresentea na ‘J’

2. The coefficient of viscous friction, inayorepresentea na ‘B’

Sasa tutachukua mifano ya linear displacement mechanical system ambayo imeonyeshwa chini-

Tumeonesha vitu vingine katika diagramu yenyewe. Tuna x ni displacement kama ilivyoelezwa katika diagramu. Kutokana na Newton’s second law of motion, tunaweza kuandika nguvu kama-

Kutokana na diagramu hii chini tunaweza kuona:

Kutokana na values za F1, F2 na F3 katika equation hii na kuchukua Laplace transform tunapewa transfer function kama,

Equation hii ni mathematical modeling ya mfumo wa kudhibiti wa kimashine.

Mathematical Modelling ya Mifumo ya Umeme

Katika aina ya mifumo ya umeme tuna vitu viwili –

1. Voltage unayorepresentea na ‘V’.

2. Current unayorepresentea na ‘I’.

3. Charge unayorepresentea na ‘Q’.

Na pia tuna parameta tatu ambazo ni active na passive components:

1. Resistance unayorepresentea na ‘R’.

2. Capacitance unayorepresentea na ‘C’.

3. Inductance unayorepresentea na ‘L’.

Sasa tunajaribu kutoa analogy kati ya mifumo ya umeme na mifumo ya kimashine. Kuna aina mbili za analogies na zimeandikwa chini:
Force Voltage Analogy : Kupitia analogy hii, tuchukulie circuit ambayo ina series combination ya resistor, inductor na capacitor.

Voltage V imeunganishwa kwa series na element hizi kama ilivyoelezwa katika circuit diagram. Sasa kutokana na circuit diagram na kwa kutumia KVL equation tunaweza kuandika expression ya voltage kwa msimbo wa charge, resistance, capacitor na inductor kama,

Sasa kutokana na hii na hii tulizopata kwa mfumo wa kimashine tunapata-

1. Mass (M) ni analogous kwa inductance (L).

2. Force ni analogous kwa voltage V.

3. Displacement (x) ni analogous kwa charge (Q).

4. Coefficient of friction (B) ni analogous kwa resistance R na

5. Spring constant ni analogous kwa reciprocal ya capacitor (C).

Analogy hii inatafsiriwa kama force voltage analogy.
Force Current Analogy : Kupitia analogy hii, tuchukulie circuit ambayo ina parallel combination ya resistor, inductor na capacitor.

Voltage E imeunganishwa kwa parallel na element hizi kama ilivyoelezwa katika circuit diagram. Sasa kutokana na circuit diagram na kwa kutumia KCL equation tunaweza kuandika expression ya current kwa msimbo wa flux, resistance, capacitor na inductor kama,