Modelîna Masematîkî ya Sisteman de Kontrol | Elektrîkî Mekanîkî

Kontrol Sisteminin Matematiksel Modellemesi

Çeşitli fiziksel sistemler bulunmaktadır, bunlar şunlardır:

1. Mekanik sistemler

2. Elektrik sistemleri

3. Elektronik sistemler

4. Isı sistemleri

5. Hidrolik sistemler

6. Kimyasal sistemler

Öncelikle, neden bu sistemleri modellememiz gerektiğini anlamalıyız. Kontrol sisteminin matematiksel modellemesi, bu tür sistemler için blok diyagramlarını çizerek performanslarını ve aktarım fonksiyonlarını belirleme sürecidir.

Şimdi mekanik ve elektrik tipi sistemleri detaylı olarak tanımlayalım. Kontrol sistem teorisini anlamak için en önemli olan mekanik ve elektrik sistemleri arasındaki benzerlikleri çıkaracağız.

Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

İki çeşit mekanik sistemimiz vardır. Mekanik sistem doğrusal mekanik sistem olabilir veya döner mekanik sistem olabilir.
Doğrusal mekanik tipi sistemlerde, üç değişkenimiz vardır:

1. 'F' ile gösterilen kuvvet

2. 'V' ile gösterilen hız

3. 'X' ile gösterilen doğrusal yer değiştirme

Ayrıca üç parametremiz de vardır:

1. 'M' ile gösterilen kütle

2. 'B' ile gösterilen viskoz sürtünme katsayısı

3. 'K' ile gösterilen yay sabiti

Döner mekanik tipi sistemlerde üç değişkenimiz vardır:

1. 'T' ile gösterilen tork

2. 'ω' ile gösterilen açısal hız

3. 'θ' ile gösterilen açısal yer değiştirme

Ayrıca iki parametremiz de vardır:

1. 'J' ile gösterilen atalet momenti

2. 'B' ile gösterilen viskoz sürtünme katsayısı

Şimdi aşağıda gösterilen doğrusal yer değiştirme mekanik sistemini ele alalım-

Süreçte çeşitli değişkenleri zaten işaretledik. Diyagramda gösterildiği gibi 'x' yer değiştirmesine sahibiz. Newton'un ikinci hareket yasından, kuvveti yazabiliriz-

Aşağıdaki diyagramdan görüleceği üzere:

F1, F2 ve F3 değerlerini yukarıdaki denklemde yerine koyarak ve Laplace dönüşümünü alarak transfer fonksiyonunu elde ederiz,

Bu denklem, mekanik kontrol sisteminin matematiksel modellemesidir.

Elektrik Sisteminin Matematiksel Modellemesi

Elektrik tipi sistemlerde üç değişkenimiz vardır –

1. 'V' ile gösterilen gerilim.

2. 'I' ile gösterilen akım.

3. 'Q' ile gösterilen yük.

Ayrıca üç parametremiz de vardır, aktif ve pasif bileşenlerdir:

1. 'R' ile gösterilen direnç.

2. 'C' ile gösterilen kapasitans.

3. 'L' ile gösterilen endüktans.

Şimdi mekanik ve elektrik tipi sistemler arasında benzerlik çıkarmaya hazırız. İki çeşit benzerlik vardır ve aşağıda yazılıdır:
Kuvvet Gerilim Benzerliği : Bu tür benzerliği anlamak için, direnç, endüktör ve kapasitörün seri birleşimi olan bir devreyi ele alalım.

Devrede gösterildiği gibi, bu elemanların serisine bir V gerilimi bağlanmıştır. Şimdi devre diyagramından ve KVL denkleminden yararlanarak, yük, direnç, kapasitör ve endüktör cinsinden gerilim ifadesini yazabiliriz,

Şimdi yukarıdaki ifadeyi mekanik sistem için çıkardığımız sonuçla karşılaştırırsak şunu buluruz-

1. Kütleye (M) endüktansa (L) benzerlik görülür.

2. Kuvvete gerilime (V) benzerlik görülür.

3. Yer değiştirme (x) yüküne (Q) benzerlik görülür.

4. Sürtünme katsayısına (B) direnç (R) benzerlik görülür ve

5. Yay sabitine kapasitörün (C) tersi benzerlik görülür.

Bu benzerlik, kuvvet gerilim benzerliği olarak bilinir.
Kuvvet Akım Benzerliği : Bu tür benzerliği anlamak için, direnç, endüktör ve kapasitörün paralel birleşimi olan bir devreyi ele alalım.

Devrede gösterildiği gibi, bu elemanların paralelinde bir E gerilimi bağlanmıştır. Şimdi devre diyagramından ve KCL denkleminden yararlanarak, manyetik akı, direnç, kapasitör ve endüktör cinsinden akım ifadesini yazabiliriz,