Matematisk Modellering af Styresystem | Mekanisk Elektrisk

Matematisk modellering af styresystemer

Der findes forskellige typer fysiske systemer, nemlig har vi:

1. Mekaniske systemer

2. Elektriske systemer

3. Elektroniske systemer

4. Termiske systemer

5. Hydrauliske systemer

6. Kemiske systemer

Først skal vi forstå – hvorfor skal vi overhovedet modelle disse systemer? Matematisk modellering af et styresystem er processen med at tegne blokkdiagrammer for disse typer systemer for at bestemme deres ydeevne og overførselsfunktioner.

Lad os nu beskrive de mekaniske og elektriske typer systemer i detaljer. Vi vil udlede analogier mellem mekaniske og elektriske systemer, som er de vigtigste for at forstå teorien om styresystemer.

Matematisk modellering af mekaniske systemer

Vi har to typer mekaniske systemer. Mekanisk system kan være et lineært mekanisk system eller det kan være et rotationelt mekanisk system.
I lineære mekaniske systemer, har vi tre variable:

1. Kraft, repræsenteret ved ‘F’

2. Hastighed, repræsenteret ved ‘V’

3. Lineær forskydning, repræsenteret ved ‘X’

Og vi har også tre parametre:

1. Masse, repræsenteret ved ‘M’

2. Koefficienten for viskøs friktion, repræsenteret ved ‘B’

3. Fjederkonstanten, repræsenteret ved ‘K’

I rotationelle mekaniske systemer har vi tre variable:

1. Moment, repræsenteret ved ‘T’

2. Vinkelhastighed, repræsenteret ved ‘ω’

3. Vinkelforskydning, repræsenteret ved ‘θ’

Og vi har også to parametre :

1. Træghedsmoment, repræsenteret ved ‘J’

2. Koefficienten for viskøs friktion, repræsenteret ved ‘B’

Nu lad os overveje det lineære forskydningsmekaniske system, som vises nedenfor-

Vi har allerede markeret forskellige variable i diagrammet. Vi har x som forskydningen, som vist i diagrammet. Fra Newtons anden lov om bevægelse kan vi skrive kraft som-

Fra diagrammet nedenfor kan vi se, at:

Ved at indsætte værdierne for F1, F2 og F3 i den ovenstående ligning og tage Laplace-transformationen, har vi overførselsfunktionen som,

Denne ligning er den matematiske modellering af et mekanisk styresystem.

Matematisk modellering af elektriske systemer

I et elektrisk system har vi tre variable –

1. Spænding, repræsenteret ved ‘V’.

2. Strøm, repræsenteret ved ‘I’.

3. Ladning, repræsenteret ved ‘Q’.

Og vi har også tre parametre, som er aktive og passive komponenter:

1. Modstand, repræsenteret ved ‘R’.

2. Kapacitans, repræsenteret ved ‘C’.

3. Induktans, repræsenteret ved ‘L’.

Nu er vi i stand til at udlede analogi mellem elektriske og mekaniske systemer. Der er to typer analogier, og de er skrevet nedenfor:
Kraft-Spænding Analogi : For at forstå denne type analogi, lad os overveje en kredsløb, der består af seriekombination af resistor, induktor og kapacitor.

En spænding V er forbundet i serie med disse elementer, som vist i kredsløbsdiagrammet. Nu fra kredsløbsdiagrammet og med hjælp fra KVL-ligningen skriver vi udtrykket for spænding i forhold til ladning, modstand, kapacitor og induktor som,

Nu sammenligner vi ovenstående med det, vi har udledt for det mekaniske system, finder vi, at-

1. Masse (M) er analog til induktans (L).

2. Kraft er analog til spænding V.

3. Forskydning (x) er analog til ladning (Q).

4. Friktionskoefficient (B) er analog til modstand R og

5. Fjederkonstanten er analog til inversen af kapacitoren (C).

Denne analogi er kendt som kraft-spænding analogi.
Kraft-Strøm Analogi : For at forstå denne type analogi, lad os overveje en kredsløb, der består af parallelkombination af resistor, induktor og kapacitor.

En spænding E er forbundet parallelt med disse elementer, som vist i kredsløbsdiagrammet. Nu fra kredsløbsdiagrammet og med hjælp fra KCL-ligningen skriver vi udtrykket for strøm i forhold til flux, modstand, kapacitor og induktor som,