Irányítórendszer matematikai modellezése | Gépészművészeti Elektrotechnika
A vezérlőrendszer matematikai modellezése
Léteznek különböző fizikai rendszerek, például:
Mechanikus rendszerek
Elektromos rendszerek
Elektronikus rendszerek
Hőtényezős rendszerek
Hidraulikus rendszerek
Kémiai rendszerek
Először is meg kell értenünk, hogy miért szükség van ezeknek a rendszereknek a modellezésére? A vezérlőrendszer matematikai modellezése a blokkdiagramok rajzolása folyamata, amely segítségével meghatározhatjuk a rendszer teljesítményét és átmeneti függvényeit.
Most részletesen leírjuk a mechanikus és elektromos típusú rendszereket. Csak a mechanikus és elektromos rendszerek közötti analógiákat fogjuk levezetni, melyek a vezérlőrendszerek elméletének megértésében a legfontosabbak.
Mechanikus rendszerek matematikai modellezése
Két típusú mechanikus rendszer létezik. A mechanikus rendszer lehet lineáris mechanikus rendszer vagy forgásos mechanikus rendszer.
A lineáris mechanikus rendszerek esetén három változóval rendelkezünk:
Erő, jelölése ‘F’
Sebesség, jelölése ‘V’
Lineáris elmozdulás, jelölése ‘X’
Valamint három paraméterrel rendelkezünk:
Tömeg, jelölése ‘M’
Viszkozus súrlódási együttható, jelölése ‘B’
Rugóállandó, jelölése ‘K’
A forgásos mechanikus rendszerek esetén három változóval rendelkezünk:
Nyomaték, jelölése ‘T’
Szögsebesség, jelölése ‘ω’
Szögeltolódás, jelölése ‘θ’
Valamint két paraméterrel rendelkezünk :
Inerciatényegy, jelölése ‘J’
Viszkozus súrlódási együttható, jelölése ‘B’
Most nézzük a lineáris elmozdulású mechanikus rendszert, amely látható az alábbi ábrán-
Az ábrán már megjelöltük a különböző változókat. Az x a diagramon látható elmozdulás. A Newton második törvénye alapján írhatjuk fel az erőt a következőképpen-
Az alábbi ábrából látható, hogy:
Az F1, F2 és F3 értékeit behelyettesítve a fenti egyenletbe, majd Laplace-transzformáltját véve a következő átviteli függvényt kapjuk:
Ez az egyenlet a mechanikus vezérlőrendszer matematikai modellezése.
Elektromos rendszer matematikai modellezése
Az elektromos rendszerek esetén három változóval rendelkezünk –
Feszültség, jelölése ‘V’.
Áram, jelölése ‘I’.
Töltés, jelölése ‘Q’.
Valamint három paraméterrel rendelkezünk, amelyek aktív és passzív komponensek:
Ellenállás, jelölése ‘R’.
Kapacitás, jelölése ‘C’.
Induktivitás, jelölése ‘L’.
Most feltételek között állunk, hogy levezethetjük az elektromos és mechanikus rendszerek közötti analógiát. Két típusú analógia létezik, amelyek az alábbiakban vannak felsorolva:
Erő-feszültség analógiája : Ezen analógiának megértéséhez vegyük figyelembe egy olyan áramkört, amelyben sorosan vannak összekapcsolva egy ellenállás, egy induktív elem és egy kondenzátor.
Egy V feszültség sorosan van kapcsolva ezekkel az elemekkel, ahogy az áramkör-diagramon látható. Most az áramkör-diagram alapján, valamint a KVL-egyenlet segítségével írjuk fel a feszültség kifejezését töltés, ellenállás, kondenzátor és induktív elemek szerint:
Most összevetve a fentebb levezetett mechanikus rendszerrel azt találjuk, hogy-
A tömeg (M) analógiája az induktivitás (L).
Az erő analógiája a feszültség (V).
Az elmozdulás (x) analógiája a töltés (Q).
A súrlódási együttható (B) analógiája az ellenállás (R), és
A rugóállandó analógiája a kondenzátor inverze (C).
Ezt az analógiát erő-feszültség analógiának nevezik.
Erő-áram analógiá
