Irányítórendszer matematikai modellezése | Gépészművészeti Elektrotechnika

A vezérlőrendszer matematikai modellezése

Léteznek különböző fizikai rendszerek, például:

1. Mechanikus rendszerek

2. Elektromos rendszerek

3. Elektronikus rendszerek

4. Hőtényezős rendszerek

5. Hidraulikus rendszerek

6. Kémiai rendszerek

Először is meg kell értenünk, hogy miért szükség van ezeknek a rendszereknek a modellezésére? A vezérlőrendszer matematikai modellezése a blokkdiagramok rajzolása folyamata, amely segítségével meghatározhatjuk a rendszer teljesítményét és átmeneti függvényeit.

Most részletesen leírjuk a mechanikus és elektromos típusú rendszereket. Csak a mechanikus és elektromos rendszerek közötti analógiákat fogjuk levezetni, melyek a vezérlőrendszerek elméletének megértésében a legfontosabbak.

Mechanikus rendszerek matematikai modellezése

Két típusú mechanikus rendszer létezik. A mechanikus rendszer lehet lineáris mechanikus rendszer vagy forgásos mechanikus rendszer.
A lineáris mechanikus rendszerek esetén három változóval rendelkezünk:

1. Erő, jelölése ‘F’

2. Sebesség, jelölése ‘V’

3. Lineáris elmozdulás, jelölése ‘X’

Valamint három paraméterrel rendelkezünk:

1. Tömeg, jelölése ‘M’

2. Viszkozus súrlódási együttható, jelölése ‘B’

3. Rugóállandó, jelölése ‘K’

A forgásos mechanikus rendszerek esetén három változóval rendelkezünk:

1. Nyomaték, jelölése ‘T’

2. Szögsebesség, jelölése ‘ω’

3. Szögeltolódás, jelölése ‘θ’

Valamint két paraméterrel rendelkezünk :

1. Inerciatényegy, jelölése ‘J’

2. Viszkozus súrlódási együttható, jelölése ‘B’

Most nézzük a lineáris elmozdulású mechanikus rendszert, amely látható az alábbi ábrán-

Az ábrán már megjelöltük a különböző változókat. Az x a diagramon látható elmozdulás. A Newton második törvénye alapján írhatjuk fel az erőt a következőképpen-

Az alábbi ábrából látható, hogy:

Az F1, F2 és F3 értékeit behelyettesítve a fenti egyenletbe, majd Laplace-transzformáltját véve a következő átviteli függvényt kapjuk:

Ez az egyenlet a mechanikus vezérlőrendszer matematikai modellezése.

Elektromos rendszer matematikai modellezése

Az elektromos rendszerek esetén három változóval rendelkezünk –

1. Feszültség, jelölése ‘V’.

2. Áram, jelölése ‘I’.

3. Töltés, jelölése ‘Q’.

Valamint három paraméterrel rendelkezünk, amelyek aktív és passzív komponensek:

1. Ellenállás, jelölése ‘R’.

2. Kapacitás, jelölése ‘C’.

3. Induktivitás, jelölése ‘L’.

Most feltételek között állunk, hogy levezethetjük az elektromos és mechanikus rendszerek közötti analógiát. Két típusú analógia létezik, amelyek az alábbiakban vannak felsorolva:
Erő-feszültség analógiája : Ezen analógiának megértéséhez vegyük figyelembe egy olyan áramkört, amelyben sorosan vannak összekapcsolva egy ellenállás, egy induktív elem és egy kondenzátor.

Egy V feszültség sorosan van kapcsolva ezekkel az elemekkel, ahogy az áramkör-diagramon látható. Most az áramkör-diagram alapján, valamint a KVL-egyenlet segítségével írjuk fel a feszültség kifejezését töltés, ellenállás, kondenzátor és induktív elemek szerint:

Most összevetve a fentebb levezetett mechanikus rendszerrel azt találjuk, hogy-

1. A tömeg (M) analógiája az induktivitás (L).

2. Az erő analógiája a feszültség (V).

3. Az elmozdulás (x) analógiája a töltés (Q).

4. A súrlódási együttható (B) analógiája az ellenállás (R), és

5. A rugóállandó analógiája a kondenzátor inverze (C).

Ezt az analógiát erő-feszültség analógiának nevezik.
Erő-áram analógiá