مدل‌سازی ریاضی سیستم کنترل | مکانیک برق

مدلسازی ریاضی سیستم کنترل

نوع‌های مختلفی از سیستم‌های فیزیکی وجود دارد، به طوری که ما داریم:

1. سیستم‌های مکانیکی

2. سیستم‌های الکتریکی

3. سیستم‌های الکترونیکی

4. سیستم‌های حرارتی

5. سیستم‌های هیدرولیکی

6. سیستم‌های شیمیایی

ابتدا باید بفهمیم – چرا اصلاً نیاز داریم این سیستم‌ها را مدل‌سازی کنیم؟ مدلسازی ریاضی یک سیستم کنترل فرآیند ترسیم دیاگرام‌های بلوکی برای این نوع سیستم‌ها به منظور تعیین عملکرد و توابع انتقال آنها است.

حال بیایید سیستم‌های مکانیکی و الکتریکی را به طور دقیق توصیف کنیم. تنها مشابهت‌های بین سیستم‌های مکانیکی و الکتریکی را که در درک نظریه سیستم کنترل مهم‌ترین هستند، مشتق خواهیم کرد.

مدلسازی ریاضی سیستم‌های مکانیکی

دو نوع از سیستم‌های مکانیکی داریم. سیستم مکانیکی ممکن است یک سیستم خطی مکانیکی یا ممکن است یک سیستم چرخشی مکانیکی باشد.
در سیستم‌های خطی مکانیکی، ما سه متغیر داریم:

1. نیرو، با 'F' نمایش داده می‌شود

2. سرعت، با 'V' نمایش داده می‌شود

3. جابجایی خطی، با 'X' نمایش داده می‌شود

و همچنین ما سه پارامتر داریم:

1. جرم، با 'M' نمایش داده می‌شود

2. ضریب اصطکاک لزج، با 'B' نمایش داده می‌شود

3. ثابت فنر، با 'K' نمایش داده می‌شود

در سیستم‌های مکانیکی چرخشی ما سه متغیر داریم:

1. گشتاور، با 'T' نمایش داده می‌شود

2. سرعت زاویه‌ای، با 'ω' نمایش داده می‌شود

3. جابجایی زاویه‌ای، با 'θ' نمایش داده می‌شود

و همچنین ما دو پارامتر داریم :

1. گشتاور لختی، با 'J' نمایش داده می‌شود

2. ضریب اصطکاک لزج، با 'B' نمایش داده می‌شود

حال بیایید سیستم جابجایی خطی مکانیکی را که در زیر نشان داده شده است، در نظر بگیریم-

ما متغیرهای مختلف را در نمودار خود علامت‌گذاری کرده‌ایم. x جابجایی در نمودار نشان داده شده است. از قانون دوم نیوتن حرکت، می‌توانیم نیرو را به صورت زیر بنویسیم-

از نمودار زیر می‌توانیم ببینیم که:

با جایگزینی مقادیر F1, F2 و F3 در معادله بالا و گرفتن تبدیل لاپلاس، تابع انتقال را به صورت زیر داریم-

این معادله مدلسازی ریاضی یک سیستم کنترل مکانیکی است.

مدلسازی ریاضی سیستم الکتریکی

در سیستم‌های الکتریکی ما سه متغیر داریم –

1. ولتاژ که با 'V' نمایش داده می‌شود.

2. جریان که با 'I' نمایش داده می‌شود.

3. بار که با 'Q' نمایش داده می‌شود.

و همچنین ما سه پارامتر داریم که اجزای فعال و غیرفعال هستند:

1. مقاومت که با 'R' نمایش داده می‌شود.

2. ظرفیت که با 'C' نمایش داده می‌شود.

3. الکتریسیته خازنی که با 'L' نمایش داده می‌شود.

حال در وضعیتی هستیم که بتوانیم شباهت بین سیستم‌های الکتریکی و مکانیکی را مشتق کنیم. دو نوع شباهت وجود دارد و آنها در زیر نوشته شده‌اند:
شباهت نیرو-ولتاژ : برای درک این نوع شباهت، بیایید یک مدار را در نظر بگیریم که شامل ترکیب سری مقاومت، القایی و خازن است.

یک ولتاژ V به صورت سری با این عناصر متصل شده است، همانطور که در نمودار مدار نشان داده شده است. حال از نمودار مدار و با کمک معادله KVL، عبارت ولتاژ را بر حسب بار، مقاومت، خازن و القایی می‌نویسیم-

حال با مقایسه بالا با آنچه برای سیستم مکانیکی به دست آوردیم، می‌یابیم که-

1. جرم (M) مشابه القایی (L) است.

2. نیرو مشابه ولتاژ