Matematičko modelovanje sistema kontrole | Mеханика електротехника

Matematičko modelovanje sistema kontrole

Postoji različitih tipova fizičkih sistema, a to su:

1. Mehanički sistemi

2. Električni sistemi

3. Elektronski sistemi

4. Termički sistemi

5. Hidraulički sistemi

6. Hemijski sistemi

Prvo moramo razumeti - zašto uopšte treba da modelujemo ove sisteme? Matematičko modelovanje sistema kontrole jeste proces crtanja blok dijagrama ovih tipova sistema kako bi se odredila njihova performansa i prenosne funkcije.

Sada detaljnije opišimo mehaničke i električne sisteme. Izvediće se analogije između mehaničkih i električnih sistema, što je najvažnije za razumevanje teorije sistema kontrole.

Matematičko modelovanje mehaničkih sistema

Imamo dva tipa mehaničkih sistema. Mehanički sistem može biti linearni mehanički sistem ili rotacioni mehanički sistem.
U linearnom mehaničkom sistemu, imamo tri promenljive:

1. Sila, predstavljena sa ‘F’

2. Brzina, predstavljena sa ‘V’

3. Linearna pomera, predstavljena sa ‘X’

Takođe imamo tri parametra:

1. Masa, predstavljena sa ‘M’

2. Koeficijent viskoznog trenja, predstavljen sa ‘B’

3. Konstanta opruge, predstavljena sa ‘K’

U rotacionom mehaničkom sistemu imamo tri promenljive:

1. Moment, predstavljen sa ‘T’

2. Ugaona brzina, predstavljena sa ‘ω’

3. Ugaona pomera, predstavljena sa ‘θ’

Takođe imamo dva parametra :

1. Moment inercije, predstavljen sa ‘J’

2. Koeficijent viskoznog trenja, predstavljen sa ‘B’

Sada razmotrimo linearni mehanički sistem koji je prikazan ispod-

Već smo označili različite promenljive na dijagramu. Imamo x kao pomera koja je prikazana na dijagramu. Prema Njutnovom drugom zakonu gibanja, možemo napisati silu kao-

Iz dijagrama ispod možemo videti da je:

Zamenom vrednosti F1, F2 i F3 u gornjoj jednačini i uzimajući Laplasovu transformaciju, dobijamo prenosnu funkciju kao,

Ova jednačina predstavlja matematičko modelovanje mehaničkog sistema kontrole.

Matematičko modelovanje električnog sistema

U električnom sistemu imamo tri promenljive –

1. Napon koji je predstavljen sa ‘V’.

2. Struja koja je predstavljena sa ‘I’.

3. Naboj koji je predstavljen sa ‘Q’.

Takođe imamo tri parametra koji su aktivni i pasivni komponenti:

1. Otpor koji je predstavljen sa ‘R’.

2. Kapacitet koji je predstavljen sa ‘C’.

3. Induktivnost koja je predstavljen sa ‘L’.

Sada smo u stanju da izvedemo analogiju između električnih i mehaničkih sistema. Postoje dva tipa analogija i one su navedene ispod:
Analogija sile-naponska : Da bismo razumeli ovaj tip analogije, razmotrimo krug koji sadrži seriju kombinacija otpornika, induktivnosti i kapacitiva.

Napon V je povezan u seriji sa ovim elementima kako je prikazano na dijagramu kruga. Sada, koristeći dijagram kruga i KVL jednačinu, možemo napisati izraz za napon u zavisnosti od naboja, otpora, kapacitiva i induktivnosti kao,

Sada, uspoređujući ovo sa onim što smo izveli za mehanički sistem, nalazimo da je-

1. Masa (M) je analogni sa induktivnošću (L).

2. Sila je analogni sa naponom V.

3. Pomera (x) je analogni sa nabojem (Q).

4. Koeficijent trenja (B) je analogni sa otporom R i

5. Konstanta opruge je analogni sa inverznom vrednošću kapacitiva (C).

Ova analogija je poznata kao analogija sile-naponska.
Analogija sile-strujna : Da bismo razumeli ovaj tip analogije, razmotrimo krug koji sadrži paralelnu kombinaciju otpornika, induktivnosti i kapacitiva.