Modelització matemàtica del sistema de control | Mecànica elèctrica
Modelat matemàtic del sistema de control
Hi ha diversos tipus de sistemes físics, concretament tenim:
Sistemes mecànics
Sistemes elèctrics
Sistemes electrònics
Sistemes tèrmics
Sistemes hidràulics
Sistemes químics
En primer lloc, hem d'entendre per què necessitem modelar aquests sistemes en primer lloc. El modelat matemàtic d'un sistema de control és el procés de dibuixar els diagrames de blocs d'aquests tipus de sistemes per determinar la seva rendiment i funcions de transferència.
Ara descriurem amb detall els sistemes mecànics i elèctrics. Derivarem anàlogies entre els sistemes mecànics i elèctrics, que són els més importants per entendre la teoria del sistema de control.
Modelat matemàtic dels sistemes mecànics
Tenim dos tipus de sistemes mecànics. El sistema mecànic pot ser un sistema mecànic lineal o pot ser un sistema mecànic rotatori.
En els sistemes mecànics lineals, tenim tres variables:
Força, representada per ‘F’
Velocitat, representada per ‘V’
Desplaçament lineal, representat per ‘X’
I també tenim tres paràmetres:
Massa, representada per ‘M’
El coeficient de fricció viscosa, representat per ‘B’
La constant de la molla, representada per ‘K’
En els sistemes mecànics rotatoris tenim tres variables:
Torque, representat per ‘T’
Velocitat angular, representada per ‘ω’
Desplaçament angular, representat per ‘θ’
I també tenim dos paràmetres :
Moment d'inèrcia, representat per ‘J’
El coeficient de fricció viscosa, representat per ‘B’
Ara considerem el sistema mecànic de desplaçament lineal que es mostra a continuació-
Ja hem marcat diverses variables al diagrama mateix. Tenim x com a desplaçament tal com es mostra al diagrama. A partir de la segona llei de Newton del moviment, podem escriure la força com-
Del diagrama de sota podem veure que:
Substituint els valors de F1, F2 i F3 en l'equació anterior i prenent la transformada de Laplace, tenim la funció de transferència com,
Aquesta equació és el modelat matemàtic d'un sistema de control mecànic.
Modelat matemàtic del sistema elèctric
En els sistemes elèctrics tenim tres variables –
Voltatge, representat per ‘V’.
Corrent, representat per ‘I’.
Càrrega, representada per ‘Q’.
I també tenim tres paràmetres que són components actius i passius:
Resistència, representada per ‘R’.
Capacitància, representada per ‘C’.
Inductància, representada per ‘L’.
Ara estem en condicions de derivar anàlogies entre els sistemes elèctrics i mecànics. Hi ha dos tipus d'anàlogies i es mostren a continuació:
Analogia Força-Voltatge : Per entendre aquest tipus d'analogia, considerem un circuit que consisteix en una combinació en sèrie de resistor, inductor i capacitor.
Una tensió V està connectada en sèrie amb aquests elements tal com es mostra al diagrama de circuit. Ara, a partir del diagrama de circuit i amb l'ajuda de l'equació KVL, escrivim l'expressió de la tensió en termes de càrrega, resistència, capacitor i inductor com,
Comparant això amb el que hem derivat pel sistema mecànic, trobem que-
Massa (M) és anàloga a inductància (L).
Força és anàloga a voltatge V.
Desplaçament (x) és anàlog a càrrega (Q).
Coeficient de fricció (B) és anàlog a resistència R i
Constant de la molla és anàloga a l'invers del capacitor (C).
Aquesta analogia és coneguda com a analogia força-voltatge.
Analogia Força-Corrent : Per entendre aquest tipus d'analogia, considerem un circuit que consisteix en una combinació en paral·lel de resistor, inductor i capacitor.
Una tensió E està connectada en paral·lel amb aquests elements tal com es mostra al diagrama de circuit. Ara, a partir del diagrama de circuit i amb l'ajuda de l'equació KCL, escrivim l'expressió de la corrent en termes de flux, resistència, capacitor i inductor com,
