Matematické modelování řídicího systému | Mechanické a elektrické

Matematické modelování systému řízení

Existuje mnoho typů fyzických systémů, například máme:

1. Mechanické systémy

2. Elektrické systémy

3. Elektronické systémy

4. Termální systémy

5. Hydraulické systémy

6. Chemické systémy

Nejprve musíme pochopit – proč vlastně potřebujeme tyto systémy modelovat? Matematické modelování systému řízení je proces kreslení blokových diagramů těchto typů systémů, aby bylo možné určit jejich výkon a přenosové funkce.

Nyní popišme detailně mechanické a elektrické typy systémů. Odvodíme analogie mezi mechanickými a elektrickými systémy, které jsou nejdůležitější pro pochopení teorie systémů řízení.

Matematické modelování mechanických systémů

Máme dva typy mechanických systémů. Mechanický systém může být lineární mechanický systém nebo to může být rotační mechanický systém.
V lineárním mechanickém systému máme tři proměnné:

1. Síla, označená jako ‘F’

2. Rychlost, označená jako ‘V’

3. Lineární posun, označený jako ‘X’

A také máme tři parametry:

1. Hmotnost, označená jako ‘M’

2. Koeficient viskozního tření, označený jako ‘B’

3. Konstanta pružiny, označená jako ‘K’

V rotačním mechanickém systému máme tři proměnné:

1. Moment síly, označený jako ‘T’

2. Úhlová rychlost, označená jako ‘ω’

3. Úhlový posun, označený jako ‘θ’

A také máme dva parametry:

1. Moment setrvačnosti, označený jako ‘J’

2. Koeficient viskozního tření, označený jako ‘B’

Nyní zvažme lineární posuvný mechanický systém, jak je ukázáno níže-

Různé proměnné jsme již označili v diagramu. Máme x, což je posun, jak je ukázáno v diagramu. Podle Newtonova druhého zákona pohybu můžeme sílu zapsat jako-

Z níže uvedeného diagramu můžeme vidět, že:

Po dosazení hodnot F1, F2 a F3 do výše uvedené rovnice a provedení Laplaceovy transformace máme přenosovou funkci jako,

Tato rovnice je matematickým modelem mechanického systému řízení.

Matematické modelování elektrického systému

V elektrickém systému máme tři proměnné –

1. Napětí, označené jako ‘V’.

2. Proud, označený jako ‘I’.

3. Náboj, označený jako ‘Q’.

A také máme tři parametry, které jsou aktivní a pasivní komponenty:

1. Odpornost, označená jako ‘R’.

2. Kapacita, označená jako ‘C’.

3. Induktance, označená jako ‘L’.

Nyní jsme v pozici odvodit analogii mezi elektrickými a mechanickými systémy. Existují dva typy analogií a jsou uvedeny níže:
Analogie síla-napětí : Abychom pochopili tento typ analogie, zvažme obvod, který obsahuje sériovou kombinaci rezistoru, cívky a kondenzátoru.

Napětí V je spojeno v sérii s těmito prvky, jak je ukázáno v diagramu obvodu. Nyní z diagramu obvodu a pomocí KVL rovnice zapišme výraz pro napětí v termínech náboje, odpornosti, kapacity a induktance jako,

Nyní porovnejme výše uvedené s tím, co jsme odvodili pro mechanický systém, a najdeme, že-

1. Hmotnost (M) je analogická induktanci (L).

2. Síla je analogická napětí V.

3. Posun (x) je analogický náboji (Q).

4. Koeficient tření (B) je analogický odpornosti R a

5. Konstanta pružiny je analogická inverzi kapacity (C).

Tato analogie se nazývá analogie síla-napětí.
Analogie síla-proud : Abychom pochopili tento typ analogie, zvažme obvod, který obsahuje paralelní kombinaci rezistoru, cívky a kondenzátoru.