การจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม | กลไกไฟฟ้า

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม

มีระบบทางกายภาพหลายประเภท ได้แก่:

1. ระบบกลไก

2. ระบบไฟฟ้า

3. ระบบอิเล็กทรอนิกส์

4. ระบบความร้อน

5. ระบบไฮดรอลิก

6. ระบบเคมี

ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจว่าทำไมเราต้องสร้างแบบจำลองสำหรับระบบเหล่านี้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมคือกระบวนการวาดวงจรบล็อกสำหรับระบบเหล่านี้เพื่อหาสมรรถนะและฟังก์ชันการถ่ายโอน

ต่อไปเราจะอธิบายระบบกลไกและระบบไฟฟ้าอย่างละเอียด เราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบกลไกและระบบไฟฟ้าซึ่งสำคัญในการทำความเข้าใจทฤษฎีระบบควบคุม

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบกลไก

เรามีสองประเภทของระบบกลไก ระบบกลไกอาจเป็นระบบกลไกเชิงเส้นหรือระบบกลไกเชิงหมุน
ในระบบกลไกเชิงเส้น เรามีสามตัวแปร:

1. แรง แทนด้วย ‘F’

2. ความเร็ว แทนด้วย ‘V’

3. การกระจัดเชิงเส้น แทนด้วย ‘X’

และเรายังมีสามพารามิเตอร์:

1. มวล แทนด้วย ‘M’

2. สัมประสิทธิ์ของการเสียดทานแบบหนืด แทนด้วย ‘B’

3. ค่าคงที่ของสปริง แทนด้วย ‘K’

ในระบบกลไกเชิงหมุน เรามีสามตัวแปร:

1. แรงบิด แทนด้วย ‘T’

2. ความเร็วเชิงมุม แทนด้วย ‘ω’

3. การกระจัดเชิงมุม แทนด้วย ‘θ’

และเรายังมีสองพารามิเตอร์:

1. โมเมนต์ของความเฉื่อย แทนด้วย ‘J’

2. สัมประสิทธิ์ของการเสียดทานแบบหนืด แทนด้วย ‘B’

ตอนนี้ให้เราพิจารณาระบบกลไกเชิงเส้นที่แสดงด้านล่าง-

เราได้ทำเครื่องหมายตัวแปรต่างๆ ในแผนภาพแล้ว เราได้ x คือการกระจัดตามที่แสดงในแผนภาพ จากกฎข้อที่สองของนิวตัน เราสามารถเขียนแรงเป็น-

จากแผนภาพด้านล่างเราสามารถเห็นว่า:

เมื่อแทนค่า F1, F2 และ F3 ในสมการข้างต้นและทำการแปลงลาปลาซ เราจะได้ฟังก์ชันการถ่ายโอนเป็น,

สมการนี้คือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมกลไก

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบไฟฟ้า

ในระบบไฟฟ้า เรามีสามตัวแปร –

1. แรงดันไฟฟ้า แทนด้วย ‘V’.

2. กระแสไฟฟ้า แทนด้วย ‘I’.

3. ประจุไฟฟ้า แทนด้วย ‘Q’.

และเรายังมีสามพารามิเตอร์ซึ่งเป็นส่วนประกอบที่ใช้งานและไม่ใช้งาน:

1. ความต้านทาน แทนด้วย ‘R’.

2. ความจุไฟฟ้า แทนด้วย ‘C’.

3. ความเหนี่ยวนำ แทนด้วย ‘L’.

ตอนนี้เราพร้อมที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบไฟฟ้าและระบบกลไก มีสองประเภทของความสัมพันธ์และเขียนไว้ด้านล่าง:
ความสัมพันธ์ระหว่างแรงและแรงดันไฟฟ้า : เพื่อเข้าใจความสัมพันธ์ประเภทนี้ ให้เราพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยความต้านทาน อิน덕เตอร์ และคาปาซิเตอร์ที่เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรม

แรงดัน V ถูกเชื่อมต่อเป็นอนุกรมกับองค์ประกอบเหล่านี้ตามที่แสดงในแผนภาพวงจร ตอนนี้จากแผนภาพวงจรและด้วยความช่วยเหลือของสมการ KVL เราเขียนสมการสำหรับแรงดันในเทอมของประจุ ความต้านทาน คาปาซิเตอร์ และอิน덕เตอร์เป็น,

ตอนนี้เมื่อเปรียบเทียบกับที่เราได้สร้างสำหรับระบบกลไก เราพบว่า-

1. มวล (M) คล้ายคลึงกับอิน덕เตอร์ (L).

2. แรงคล้ายคลึงกับแรงดันไฟฟ้า V.

3. การกระจัด (x) คล้ายคลึงกับประจุ (Q).

4. สัมประสิทธิ์ของการเสียดทาน (B) คล้ายคลึงกับความต้านทาน R และ

5. ค่าคงที่ของสปริงคล้ายคลึงกับผกผันของคาปาซิเตอร์ (C).

ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าความสัมพันธ์ระหว่างแรงและแรงดันไฟฟ้า
ความสัมพันธ์ระหว่างแรงและกระแสไฟฟ้า : เพื่อเข้าใจความสัมพันธ์ประเภทนี้ ให้เราพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยความต้านทาน อิน덕เตอร์ และคาปาซิเตอร์ที่เชื่อมต่อกันแบบขนาน