การจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม | กลไกไฟฟ้า
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุม
มีระบบทางกายภาพหลายประเภท ได้แก่:
ระบบกลไก
ระบบไฟฟ้า
ระบบอิเล็กทรอนิกส์
ระบบความร้อน
ระบบไฮดรอลิก
ระบบเคมี
ก่อนอื่นเราต้องเข้าใจว่าทำไมเราต้องสร้างแบบจำลองสำหรับระบบเหล่านี้ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมคือกระบวนการวาดวงจรบล็อกสำหรับระบบเหล่านี้เพื่อหาสมรรถนะและฟังก์ชันการถ่ายโอน
ต่อไปเราจะอธิบายระบบกลไกและระบบไฟฟ้าอย่างละเอียด เราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบกลไกและระบบไฟฟ้าซึ่งสำคัญในการทำความเข้าใจทฤษฎีระบบควบคุม
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบกลไก
เรามีสองประเภทของระบบกลไก ระบบกลไกอาจเป็นระบบกลไกเชิงเส้นหรือระบบกลไกเชิงหมุน
ในระบบกลไกเชิงเส้น เรามีสามตัวแปร:
แรง แทนด้วย ‘F’
ความเร็ว แทนด้วย ‘V’
การกระจัดเชิงเส้น แทนด้วย ‘X’
และเรายังมีสามพารามิเตอร์:
มวล แทนด้วย ‘M’
สัมประสิทธิ์ของการเสียดทานแบบหนืด แทนด้วย ‘B’
ค่าคงที่ของสปริง แทนด้วย ‘K’
ในระบบกลไกเชิงหมุน เรามีสามตัวแปร:
แรงบิด แทนด้วย ‘T’
ความเร็วเชิงมุม แทนด้วย ‘ω’
การกระจัดเชิงมุม แทนด้วย ‘θ’
และเรายังมีสองพารามิเตอร์:
โมเมนต์ของความเฉื่อย แทนด้วย ‘J’
สัมประสิทธิ์ของการเสียดทานแบบหนืด แทนด้วย ‘B’
ตอนนี้ให้เราพิจารณาระบบกลไกเชิงเส้นที่แสดงด้านล่าง-
เราได้ทำเครื่องหมายตัวแปรต่างๆ ในแผนภาพแล้ว เราได้ x คือการกระจัดตามที่แสดงในแผนภาพ จากกฎข้อที่สองของนิวตัน เราสามารถเขียนแรงเป็น-
จากแผนภาพด้านล่างเราสามารถเห็นว่า:
เมื่อแทนค่า F1, F2 และ F3 ในสมการข้างต้นและทำการแปลงลาปลาซ เราจะได้ฟังก์ชันการถ่ายโอนเป็น,
สมการนี้คือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบควบคุมกลไก
การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบไฟฟ้า
ในระบบไฟฟ้า เรามีสามตัวแปร –
แรงดันไฟฟ้า แทนด้วย ‘V’.
กระแสไฟฟ้า แทนด้วย ‘I’.
ประจุไฟฟ้า แทนด้วย ‘Q’.
และเรายังมีสามพารามิเตอร์ซึ่งเป็นส่วนประกอบที่ใช้งานและไม่ใช้งาน:
ความต้านทาน แทนด้วย ‘R’.
ความจุไฟฟ้า แทนด้วย ‘C’.
ความเหนี่ยวนำ แทนด้วย ‘L’.
ตอนนี้เราพร้อมที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบไฟฟ้าและระบบกลไก มีสองประเภทของความสัมพันธ์และเขียนไว้ด้านล่าง:
ความสัมพันธ์ระหว่างแรงและแรงดันไฟฟ้า : เพื่อเข้าใจความสัมพันธ์ประเภทนี้ ให้เราพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยความต้านทาน อิน덕เตอร์ และคาปาซิเตอร์ที่เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรม
แรงดัน V ถูกเชื่อมต่อเป็นอนุกรมกับองค์ประกอบเหล่านี้ตามที่แสดงในแผนภาพวงจร ตอนนี้จากแผนภาพวงจรและด้วยความช่วยเหลือของสมการ KVL เราเขียนสมการสำหรับแรงดันในเทอมของประจุ ความต้านทาน คาปาซิเตอร์ และอิน덕เตอร์เป็น,
ตอนนี้เมื่อเปรียบเทียบกับที่เราได้สร้างสำหรับระบบกลไก เราพบว่า-
มวล (M) คล้ายคลึงกับอิน덕เตอร์ (L).
แรงคล้ายคลึงกับแรงดันไฟฟ้า V.
การกระจัด (x) คล้ายคลึงกับประจุ (Q).
สัมประสิทธิ์ของการเสียดทาน (B) คล้ายคลึงกับความต้านทาน R และ
ค่าคงที่ของสปริงคล้ายคลึงกับผกผันของคาปาซิเตอร์ (C).
ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าความสัมพันธ์ระหว่างแรงและแรงดันไฟฟ้า
ความสัมพันธ์ระหว่างแรงและกระแสไฟฟ้า : เพื่อเข้าใจความสัมพันธ์ประเภทนี้ ให้เราพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยความต้านทาน อิน덕เตอร์ และคาปาซิเตอร์ที่เชื่อมต่อกันแบบขนาน
