Matematičko modeliranje sustava upravljanja | Mehanika i elektrotehnika

Matematičko modeliranje sustava upravljanja

Postoji različitih tipova fizičkih sustava, a to su:

1. Mehanički sustavi

2. Električni sustavi

3. Elektronički sustavi

4. Toplinski sustavi

5. Hidraulički sustavi

6. Kemijski sustavi

Prvo moramo razumjeti - zašto uopće trebamo modelirati ove sustave? Matematičko modeliranje sustava upravljanja je proces crtanja blokovskih dijagrama za ove vrste sustava kako bismo odredili njihovu performansu i prijenosne funkcije.

Sada detaljnije opisujemo mehaničke i električne vrste sustava. Izvedemo analogiju između mehaničkih i električnih sustava, što je najvažnije za razumijevanje teorije sustava upravljanja.

Matematičko modeliranje mehaničkih sustava

Imamo dva tipa mehaničkih sustava. Mehanički sustav može biti linearni mehanički sustav ili rotacijski mehanički sustav.
U linearnim mehaničkim sustavima, imamo tri varijable:

1. Sila, predstavljena sa ‘F’

2. Brzina, predstavljena sa ‘V’

3. Linearna pomak, predstavljena sa ‘X’

I također imamo tri parametra:

1. Masa, predstavljena sa ‘M’

2. Koeficijent viskoznog trenja, predstavljen sa ‘B’

3. Konstanta opruge, predstavljena sa ‘K’

U rotacijskim mehaničkim sustavima imamo tri varijable:

1. Momentalna sila, predstavljena sa ‘T’

2. Kutna brzina, predstavljena sa ‘ω’

3. Kutni pomak, predstavljena sa ‘θ’

I također imamo dva parametra :

1. Moment inercije, predstavljen sa ‘J’

2. Koeficijent viskoznog trenja, predstavljen sa ‘B’

Sada razmotrimo linearni mehanički sustav s pomakom, koji je prikazan ispod-

Već smo označili različite varijable na dijagramu. Imamo x kao pomak, prikazan na dijagramu. Prema Newtonovom drugom zakonu gibanja, možemo napisati silu kao-

Iz dijagrama ispod vidimo da je:

Zamjenom vrijednosti F1, F2 i F3 u gornjoj jednadžbi i uzimanjem Laplaceove transformacije, dobivamo prijenosnu funkciju kao,

Ova jednadžba je matematičko modeliranje mehaničkog sustava upravljanja.

Matematičko modeliranje električnog sustava

U električnim sustavima imamo tri varijable –

1. Napon, predstavljen sa ‘V’.

2. Struja, predstavljena sa ‘I’.

3. Naboj, predstavljen sa ‘Q’.

I također imamo tri parametra koji su aktivni i pasivni komponenti:

1. Otpor, predstavljen sa ‘R’.

2. Kapacitet, predstavljen sa ‘C’.

3. Induktivnost, predstavljena sa ‘L’.

Sada smo u stanju izvesti analogiju između električnih i mehaničkih sustava. Postoje dvije vrste analogija, a one su navedene ispod:
Analoga sile i napona : Kako bismo razumjeli ovu vrstu analogije, razmotrimo krug koji sastoji se od serijske kombinacije otpornika, induktivnosti i kapaciteta.

Napon V spojen je u serijskom spoju s ovim elementima, kao što je prikazano na dijagramu kruga. Sada, s pomoću KVL jednadžbe, možemo napisati izraz za napon u smislu naboja, otpora, kapaciteta i induktivnosti kao,

Sada uspoređujući ovo s onim što smo izveli za mehanički sustav, nalazimo da je-

1. Masa (M) je analogni pojam s induktivnošću (L).

2. Sila je analogni pojam s naponom V.

3. Pomak (x) je analogni pojam s nabojem (Q).

4. Koeficijent trenja (B) je analogni pojam s otporom R i

5. Konstanta opruge je analogni pojam s inverznom vrednošću kapaciteta (C).

Ova analogija je poznata kao analogija sile i napona.
Analoga sile i struje : Kako bismo razumjeli ovu vrstu analogije, razmotrimo krug koji sastoji se od paralelnog spoja otpornika, induktivnosti i kapaciteta.