Kontrol Sisteminin Matematiksel Modellemesi | Makine Elektrik

Kontrol Sisteminin Matematiksel Modellemesi

Farklı fiziksel sistemler vardır, örneğin:

1. Mekanik sistemler

2. Elektrik sistemleri

3. Elektronik sistemler

4. Isı sistemleri

5. Hidrolik sistemler

6. Kimyasal sistemler

Öncelikle bu sistemleri neden modellemeliyiz anlamak gerekiyor. Kontrol sisteminin matematiksel modellemesi, bu tür sistemler için blok diyagramları çizerek performanslarını ve aktarım fonksiyonlarını belirleme sürecidir.

Şimdi mekanik ve elektrik tipi sistemleri detaylı olarak tanımlayalım. Kontrol sistem teorisini anlamak için en önemli olan mekanik ve elektrik sistemler arasında analogiler kuracağız.

Mekanik Sistemlerin Matematiksel Modellemesi

İki tür mekanik sistemimiz var. Mekanik sistem doğrusal bir mekanik sistem olabilir veya döner mekanik tip bir sistem olabilir.
Doğrusal mekanik tip sistemlerde üç değişkenimiz var:

1. 'F' ile temsil edilen kuvvet

2. 'V' ile temsil edilen hız

3. 'X' ile temsil edilen doğrusal yer değiştirme

Ayrıca üç parametremiz de var:

1. 'M' ile temsil edilen kütle

2. 'B' ile temsil edilen viskoz sürtünme katsayısı

3. 'K' ile temsil edilen yay sabiti

Döner mekanik tip sistemlerde üç değişkenimiz var:

1. 'T' ile temsil edilen tork

2. 'ω' ile temsil edilen açısal hız

3. 'θ' ile temsil edilen açısal yer değiştirme

Ayrıca iki parametremiz de var:

1. 'J' ile temsil edilen atalet momenti

2. 'B' ile temsil edilen viskoz sürtünme katsayısı

Şimdi aşağıda gösterilen doğrusal yer değiştirme mekanik sistemini ele alalım-

Slaytlarda çeşitli değişkenleri zaten işaretledik. Şekilde gösterildiği gibi 'x' yer değiştirmesine sahibiz. Newton'un hareket yasalarından ikincisinden, kuvveti şu şekilde yazabiliriz-

Aşağıdaki şemadan şunu görebiliriz:

Yukarıdaki denkleme F1, F2 ve F3 değerlerini yerleştirip Laplace dönüşümünü alarak transfer fonksiyonunu elde ederiz,

Bu denklem, mekanik kontrol sisteminin matematiksel modellemesidir.

Elektrik Sistemlerinin Matematiksel Modellemesi

Elektrik tipi sistemlerde üç değişkenimiz var –

1. 'V' ile temsil edilen gerilim

2. 'I' ile temsil edilen akım

3. 'Q' ile temsil edilen yük

Ayrıca etkin ve pasif bileşenler olan üç parametremiz de var:

1. 'R' ile temsil edilen direnç

2. 'C' ile temsil edilen kapasitans

3. 'L' ile temsil edilen endüktans

Şimdi elektrik ve mekanik tip sistemler arasında analogi oluşturmak için hazırız. İki tür analogi vardır ve bunlar aşağıda yazılmıştır:
Kuvvet-Gerilim Analogisi : Bu tür analogiyi anlamak için, direnç, endüktör ve kapasitörün seri kombinasyonunu içeren bir devreyi düşünelim.

Devre şemasında gösterildiği gibi, bu elemanlarla seri bağlı bir gerilim V bulunur. Şimdi devre şeması ve KVL denklemi yardımıyla, yük, direnç, kapasitör ve endüktör cinsinden gerilim ifadesini yazabiliriz,

Şimdi yukarıdaki ifadeyi mekanik sistem için türettiğimiz ifadeyle karşılaştırırsak şunları buluruz-

1. Kütle (M), endüktans (L) ile analojiktir.

2. Kuvvet, gerilim V ile analojiktir.

3. Yer değiştirme (x), yük (Q) ile analojiktir.

4. Sürtünme katsayısı (B), direnç R ile analojiktir ve

5. Yay sabiti, kapasitörün (C) tersi ile analojiktir.

Bu analogi, kuvvet-gerilim analogisi olarak bilinir.
Kuvvet-Akım Analogisi : Bu tür analogiyi anlamak için, direnç, endüktör ve kapasitörün paralel kombinasyonunu içeren bir devreyi düşünelim.

Devre şemasında gösterildiği gibi, bu elemanlarla paralel bir gerilim E bulunur. Şimdi devre şeması ve KCL denklemi yardımıyla, manyetik akı, direnç, kapasitör ve endüktör cinsinden akım ifadesini yazabiliriz,