Nyquist 안정성 기준: 무엇인가? (Matlab 예제 포함)
Nyquist 안정성 기준이란?
Nyquist 안정성 기준 (또는 Nyquist 기준)은 제어 공학에서 동적 시스템의 안정성을 결정하기 위해 사용되는 그래픽 기법입니다. Nyquist 안정성 기준은 개루프 제어 시스템의 Nyquist 플롯만 고려하므로, 폐루프 또는 개루프 시스템의 극점이나 영점을 명시적으로 계산하지 않고도 적용할 수 있습니다.
따라서 Nyquist 기준은 비합리적인 함수(예: 지연이 있는 시스템)로 정의된 시스템에도 적용할 수 있습니다. Bode 플롯과 달리, 오른쪽 반평면에 특이점을 가진 전달 함수를 처리할 수 있습니다.
Nyquist 안정성 기준은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
Z = N + P
여기서:
Z = 1+G(s)H(s)의 s-평면의 오른쪽 반평면(RHS)에서의 근의 수 (이는 특성 방정식의 영점이라고도 함)
N = 임계점 1+j0을 시계 방향으로 둘러싸는 횟수
P = 개루프 전달 함수(OLTF) [즉, G(s)H(s)]의 s-평면의 오른쪽 반평면(RHS)에서의 극점의 수.
위 조건 (즉, Z=N+P)은 안정적이든 불안정적이든 모든 시스템에 대해 유효합니다.
이제 예제를 통해 이 기준을 설명하겠습니다.
Nyquist 안정성 기준 예제
Nyquist 기준 예제 1
다음과 같은 개루프 전달 함수(OLTF)를 고려해보겠습니다: 
이 시스템은 안정적인 시스템인가, 아니면 불안정한 시스템인가. 아마 대부분의 분들은 +2에서 하나의 극점이 있으므로 불안정한 시스템이라고 말할 것입니다. 그러나 폐루프 전달 함수의 분모에 따라 안정성이 결정된다는 점에 주목해야 합니다.
폐루프 전달 함수(특성 방정식이라고도 함)의 분모의 어떤 근이 s-평면의 오른쪽 반평면에 있다면 시스템은 불안정합니다. 따라서 위의 경우 +2에서의 극점은 시스템을 불안정하게 만들려고 하지만, 시스템은 안정적일 수 있습니다. 여기서 Nyquist 플롯은 안정성을 찾는데 유용합니다.
Nyquist 이론에 따르면 Z=N+P (안정적이든 불안정적이든 모든 시스템에 대해).
안정적인 시스템의 경우, Z=0, 즉 특성 방정식의 어떠한 근도 오른쪽 반평면에 있지 않아야 합니다.
따라서 안정적인 시스템에서는 N = –P 입니다.
위 시스템의 Nyquist 플롯은 다음과 같습니다.
Nyquist 플롯 MATLAB 코드
s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')
그림에서 볼 수 있듯이, Nyquist 플롯은 임계점 –1+j0 (또는 중요한 점)을 한 번 반시계 방향으로 둘러싸고 있습니다. 따라서 N= –1이며, OLTF에서 하나의 극점(2+)이 오른쪽 반평면에 있으므로 P = 1입니다. N= –P임을 확인할 수 있으므로 시스템은 안정적입니다.
특성 방정식의 근을 찾으면 –10.3, –0.86±j1.24가 됩니다 (즉, 시스템은 안정적이고, Z=0). 특성 방정식의 근을 찾아서 그 기반으로 안정성을 판단할 수 있다면, 왜 Nyquist 플롯이 필요한지 질문할 수 있습니다. 답은, 소프트웨어가 없던 시대에는 Nyquist 플롯이 매우 유용했기 때문입니다.
Nyquist 기준 예제 2
다른 예제를 살펴보겠습니다: 
Nyquist 플롯은 다음과 같습니다:
