Критерий устойчивости Найквиста: что это? (с примерами на Matlab)
Что такое критерий устойчивости Найквиста?
Критерий устойчивости Найквиста (или критерий Найквиста) определяется как графический метод, используемый в теории управления для определения устойчивости динамической системы. Поскольку критерий устойчивости Найквиста рассматривает только диаграмму Найквиста для систем с открытым контуром, его можно применять без явного вычисления полюсов и нулей замкнутой или открытой системы.
В результате критерий Найквиста может быть применен к системам, определенным нерациональными функциями (например, к системам с запаздыванием). В отличие от диаграмм Боде, он может обрабатывать передаточные функции с особенностями в правой полуплоскости.
Критерий устойчивости Найквиста может быть выражен следующим образом:
Z = N + P
Где:
Z = количество корней характеристического уравнения 1+G(s)H(s) в правой половине s-плоскости (также называется нулями характеристического уравнения)
N = количество обходов критической точки 1+j0 по часовой стрелке
P = количество полюсов передаточной функции с открытым контуром (OLTF) [т.е. G(s)H(s)] в правой половине s-плоскости.
Указанное выше условие (т.е. Z=N+P) действует для всех систем, будь они стабильны или нестабильны.
Теперь мы объясним этот критерий на примерах критерия устойчивости Найквиста.
Примеры критерия устойчивости Найквиста
Пример 1 критерия Найквиста
Рассмотрим передаточную функцию с открытым контуром (OLTF) как 
Является ли это стабильной системой или нестабильной. Возможно, большинство из вас скажет, что это нестабильная система, так как один полюс находится на +2. Однако, обратите внимание, что стабильность зависит от знаменателя передаточной функции с замкнутым контуром.
Если какой-либо корень знаменателя передаточной функции с замкнутым контуром (также называемого характеристическим уравнением) находится в правой половине s-плоскости, то система нестабильна. Поэтому в данном случае полюс на +2 будет пытаться привести систему к нестабильности, но система может быть стабильной. Здесь полезна диаграмма Найквиста для определения стабильности.
Согласно теории Найквиста Z=N+P (для любой системы, будь она стабильной или нестабильной).
Для стабильной системы Z=0, т.е. корни характеристического уравнения не должны находиться в правой половине s-плоскости.
Таким образом, для стабильной системы N = –P.
Диаграмма Найквиста для данной системы показана ниже:
Код Matlab для диаграммы Найквиста
s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')
Как видно из диаграммы, диаграмма Найквиста огибает точку –1+j0 (также называемую критической точкой) один раз против часовой стрелки. Следовательно, N= –1, в OLTF один полюс (на +2) находится в правой половине s-плоскости, поэтому P =1. Вы можете заметить, что N= –P, следовательно, система стабильна.
Если вы найдете корни характеристического уравнения, они будут равны –10.3, –0.86±j1.24. (т.е. система стабильна), и Z=0. Может возникнуть вопрос, если корни характеристического уравнения могут быть найдены, то почему бы не комментировать стабильность на их основе, тогда зачем нужна диаграмма Найквиста. Ответ заключается в том, что когда программное обеспечение было недоступно, в те времена диаграмма Найквиста была очень полезна.
Пример 2 критерия Найквиста
Теперь рассмотрим другой пример: 
Диаграмма Найквиста представлена ниже:
