معیار پایداری نایکوئیست: آن چیست؟ (به همراه مثال‌های متلب)

فیلد: مقدماتی برق

China

معیار نایکوئیست چیست

معیار پایداری نایکوئیست چیست؟

معیار پایداری نایکوئیست (یا معیار نایکوئیست) به عنوان یک تکنیک گرافیکی در مهندسی کنترل برای تعیین پایداری یک سیستم دینامیکی تعریف می‌شود. زیرا معیار پایداری نایکوئیست فقط نمودار نایکوئیست سیستم‌های کنترل باز را در نظر می‌گیرد، بنابراین می‌توان آن را بدون محاسبه صریح قطب‌ها و صفرها از سیستم حلقه بسته یا باز اعمال کرد.

بنابراین، معیار نایکوئیست می‌تواند به سیستم‌هایی که توسط توابع غیر گویا تعریف شده‌اند (مانند سیستم‌هایی با تاخیر) اعمال شود. بر خلاف نمودارهای بود، می‌تواند توابع انتقالی با تکین‌های در نیمه راست صفحه s را مدیریت کند.

معیار پایداری نایکوئیست می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

Z = N + P

که در آن:

Z = تعداد ریشه‌های 1+G(s)H(s) در نیمه راست صفحه s (همچنین به عنوان صفرهای معادله مشخصه شناخته می‌شود)
N = تعداد دورهای نقطه بحرانی 1+j0 در جهت عقربه‌های ساعت
P = تعداد قطب‌های تابع انتقال حلقه باز (OLTF) [یعنی G(s)H(s)] در نیمه راست صفحه s.

شرایط فوق (یعنی Z=N+P) برای همه سیستم‌ها، چه پایدار و چه ناپایدار، معتبر است.

حال ما این معیار را با مثال‌هایی از معیار پایداری نایکوئیست توضیح خواهیم داد.

مثال‌های معیار پایداری نایکوئیست

مثال ۱: معیار نایکوئیست

فرض کنید تابع انتقال حلقه باز (OLTF) به صورت $G(s)H(s)=\dfrac{120}{(s-2)(s+6)(s+8) }.$ باشد. آیا این یک سیستم پایدار یا ناپایدار است. شاید بیشتر شما بگویید که این یک سیستم ناپایدار است زیرا یک قطب در +2 است. با این حال، توجه داشته باشید که پایداری به مخرج تابع انتقال حلقه بسته بستگی دارد.

اگر هر ریشه‌ای از مخرج تابع انتقال حلقه بسته (که همچنین معادله مشخصه نامیده می‌شود) در نیمه راست صفحه s باشد، سیستم ناپایدار است. بنابراین در مثال فوق، قطب در +2 می‌خواهد سیستم را به ناپایداری بکشاند، اما سیستم ممکن است پایدار باشد. در اینجا نمودار نایکوئیست مفید است برای یافتن پایداری.

بر اساس نظریه نایکوئیست Z=N+P (برای هر سیستم، چه پایدار و چه ناپایدار).

برای سیستم پایدار، Z=0، یعنی هیچ ریشه‌ای از معادله مشخصه نباید در نیمه راست صفحه s باشد.

بنابراین برای سیستم پایدار N = –P.

نمودار نایکوئیست سیستم فوق به صورت زیر است

کد متلب نمودار نایکوئیست

s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')

بر اساس نمودار، نمودار نایکوئیست نقطه –1+j0 (که همچنین به عنوان نقطه بحرانی شناخته می‌شود) یک بار در جهت عقربه‌های ساعت می‌چرخد. بنابراین N= –1، در OLTF، یک قطب (در +2) در نیمه راست صفحه s است، بنابراین P =1. می‌توانید ببینید N= –P، بنابراین سیستم پایدار است.

اگر ریشه‌های معادله مشخصه را پیدا کنید، آنها خواهند بود –10.3، –0.86±j1.24. (یعنی سیستم پایدار است)، و Z=0. یک سوال می‌تواند مطرح شود، اگر ریشه‌های معادله مشخصه می‌توانند یافت شوند، بنابراین می‌توانیم پایداری را بر اساس آن تعیین کنیم، پس نیاز به نمودار نایکوئیست چیست. پاسخ این است که وقتی نرم‌افزارهایی وجود نداشت، در آن روزها نمودار نایکوئیست بسیار مفید بود.