Critère de Stabilité de Nyquist : Qu'est-ce que c'est ? (Avec des exemples Matlab)

Qu'est-ce que le critère de stabilité de Nyquist?

Le critère de stabilité de Nyquist (ou critère de Nyquist) est défini comme une technique graphique utilisée en ingénierie de contrôle pour déterminer la stabilité d'un système dynamique. Comme le critère de stabilité de Nyquist ne considère que le diagramme de Nyquist des systèmes de contrôle en boucle ouverte, il peut être appliqué sans calculer explicitement les pôles et les zéros du système en boucle fermée ou en boucle ouverte.

Par conséquent, le critère de Nyquist peut être appliqué à des systèmes définis par des fonctions non rationnelles (comme des systèmes avec des retards). Contrairement aux diagrammes de Bode, il peut gérer des fonctions de transfert avec des singularités dans le demi-plan droit.

Le critère de stabilité de Nyquist peut être exprimé comme suit :

Z = N + P

Où :

• Z = nombre de racines de 1+G(s)H(s) dans le demi-plan droit (DHD) du plan s (C'est aussi appelé les zéros de l'équation caractéristique)

• N = nombre d'encerclements du point critique 1+j0 dans le sens horaire

• P = nombre de pôles de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) [c'est-à-dire G(s)H(s)] dans le DHD du plan s.

La condition ci-dessus (c'est-à-dire Z=N+P) est valable pour tous les systèmes, qu'ils soient stables ou instables.

Nous allons maintenant expliquer ce critère avec des exemples du critère de stabilité de Nyquist.

Exemples du critère de stabilité de Nyquist

Exemple 1 du critère de Nyquist

Considérons une fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) telle que S'agit-il d'un système stable ou instable ? Peut-être que la plupart d'entre vous diront qu'il s'agit d'un système instable car un pôle est à +2. Cependant, notez que la stabilité dépend du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.

Si une racine du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée (aussi appelée équation caractéristique) est dans le DHD du plan s, alors le système est instable. Ainsi, dans le cas ci-dessus, un pôle à +2 essaiera de rendre le système instable, mais le système peut être stable. Ici, le diagramme de Nyquist est utile pour trouver la stabilité.

Selon la théorie de Nyquist, Z=N+P (pour tout système, qu'il soit stable ou instable).

Pour un système stable, Z=0, c'est-à-dire aucune racine de l'équation caractéristique ne doit être dans le DHD.

Donc, pour un système stable, N = –P.

Le diagramme de Nyquist du système ci-dessus est montré ci-dessous

Code Matlab du diagramme de Nyquist

s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')

Comme le montre le diagramme, le diagramme de Nyquist encercle le point –1+j0 (également appelé point critique) une fois dans le sens antihoraire. Par conséquent, N= –1, dans la FTBO, un pôle (à +2) est dans le DHD, donc P =1. Vous pouvez voir que N= –P, donc le système est stable.

Si vous trouvez les racines de l'équation caractéristique, elles seront –10.3, –0.86±j1.24. (c'est-à-dire le système est stable), et Z=0. On peut se demander, si les racines de l'équation caractéristique peuvent être trouvées, on peut donc commenter la stabilité sur cette base, alors pourquoi a-t-on besoin du diagramme de Nyquist. La réponse est que, lorsque les logiciels n'étaient pas disponibles, dans ces jours-là, le diagramme de Nyquist était très utile.

Exemple 2 du critère de Nyquist

Prenons un autre exemple :

Le diagramme de Nyquist est comme suit :

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