Nyquist-Stabilitätskriterium: Was ist das? (Plus Matlab-Beispiele)
Was ist das Nyquist-Stabilitätskriterium?
Das Nyquist-Stabilitätskriterium (oder Nyquist-Kriterium) ist eine graphische Technik, die in der Regelungstechnik verwendet wird, um die Stabilität eines dynamischen Systems zu bestimmen. Da das Nyquist-Stabilitätskriterium nur den Nyquist-Diagramm des offenen Regelkreises berücksichtigt, kann es angewendet werden, ohne explizit die Pole und Nullstellen des geschlossenen oder offenen Regelkreises zu berechnen.
Daher kann das Nyquist-Kriterium auf Systeme angewendet werden, die durch nicht-rationale Funktionen definiert sind (wie Systeme mit Verzögerungen). Im Gegensatz zu Bode-Diagrammen kann es auch Übertragungsfunktionen mit Singularitäten im rechten Halbebene verarbeiten.
Das Nyquist-Stabilitätskriterium kann wie folgt ausgedrückt werden:
Z = N + P
Wobei:
Z = Anzahl der Nullstellen von 1+G(s)H(s) in der rechten Halbebene (auch Nullstellen der charakteristischen Gleichung genannt)
N = Anzahl der Umlaufs der kritischen Punktes 1+j0 in Uhrzeigersinn
P = Anzahl der Pole der offenen Schleifen-Übertragungsfunktion (OLTF) [d.h. G(s)H(s)] in der rechten Halbebene.
Die obige Bedingung (d.h. Z=N+P) gilt für alle Systeme, unabhängig davon, ob sie stabil oder instabil sind.
Nun werden wir dieses Kriterium anhand von Beispielen des Nyquist-Stabilitätskriteriums erläutern.
Beispiele zum Nyquist-Stabilitätskriterium
Beispiel 1 zum Nyquist-Kriterium
Betrachten wir eine offene Schleifen-Übertragungsfunktion (OLTF) als 
Ist es ein stabiles oder instabiles System? Vielleicht werden die meisten von Ihnen sagen, dass es ein instabiles System ist, da ein Pol bei +2 liegt. Beachten Sie jedoch, dass die Stabilität vom Nenner der geschlossenen Schleifen-Übertragungsfunktion abhängt.
Wenn irgendeine Wurzel des Nenners der geschlossenen Schleifen-Übertragungsfunktion (auch charakteristische Gleichung genannt) in der rechten Halbebene des s-Bereichs liegt, dann ist das System instabil. In dem oben genannten Fall wird ein Pol bei +2 versuchen, das System in Richtung Instabilität zu bringen, aber das System könnte stabil sein. Hier ist das Nyquist-Diagramm nützlich, um die Stabilität zu ermitteln.
Laut der Nyquist-Theorie gilt Z=N+P (für jedes System, ob stabil oder instabil).
Für ein stabiles System gilt Z=0, d.h. keine Nullstellen der charakteristischen Gleichung sollten in der rechten Halbebene liegen.
Also für ein stabiles System gilt N = –P.
Das Nyquist-Diagramm des oben genannten Systems ist wie folgt
MATLAB-Code für das Nyquist-Diagramm
s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')
Wie im Diagramm zu sehen, umkreist das Nyquist-Diagramm den Punkt –1+j0 (auch kritischer Punkt genannt) einmal gegen den Uhrzeigersinn. Daher N= –1, in der OLTF liegt ein Pol (bei +2) in der rechten Halbebene, daher P =1. Sie können sehen, dass N= –P, daher ist das System stabil.
Wenn Sie die Nullstellen der charakteristischen Gleichung finden, werden sie –10.3, –0.86±j1.24 sein. (d.h. das System ist stabil), und Z=0. Eine Frage, die gestellt werden könnte, ist, wenn die Nullstellen der charakteristischen Gleichung gefunden werden können, so dass wir auf dieser Grundlage über die Stabilität urteilen können, warum braucht man dann das Nyquist-Diagramm. Die Antwort lautet, dass das Nyquist-Diagramm sehr nützlich war, als Software noch nicht verfügbar war.
Beispiel 2 zum Nyquist-Kriterium
Nehmen wir nun ein weiteres Beispiel: 
Das Nyquist-Diagramm ist wie folgt:
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