معیار پایداری نایکوئیست: چیست؟ (به همراه مثالهای متلب)
چه چیزی است معیار پایداری نایکوئیست؟
معیار پایداری نایکوئیست (یا معیار نایکوئیست) به عنوان یک روش گرافیکی در مهندسی کنترل برای تعیین پایداری یک سیستم دینامیکی تعریف میشود. زیرا معیار پایداری نایکوئیست فقط نمودار نایکوئیست سیستمهای کنترل باز را در نظر میگیرد، بنابراین میتوان آن را بدون محاسبه صریح قطبها و صفرها از سیستم حلقه بسته یا باز به کار برد.
بنابراین، معیار نایکوئیست میتواند به سیستمهایی که توسط توابع غیر گویا تعریف شدهاند (مانند سیستمهای با تأخیر) اعمال شود. بر خلاف نمودارهای بود، میتواند توابع انتقالی با تکینهای در نیمه مثبت صفحه s را مدیریت کند.
معیار پایداری نایکوئیست میتواند به صورت زیر بیان شود:
Z = N + P
که در آن:
Z = تعداد ریشههای 1+G(s)H(s) در نیمه مثبت صفحه s (این همچنین به عنوان صفرهای معادله مشخصه شناخته میشود)
N = تعداد دورهای نقطه بحرانی 1+j0 در جهت ساعتگرد
P = تعداد قطبهای تابع انتقال حلقه باز (OLTF) [یعنی G(s)H(s)] در نیمه مثبت صفحه s.
شرایط فوق (یعنی Z=N+P) برای تمام سیستمها، چه پایدار یا ناپایدار، معتبر است.
حال ما این معیار را با مثالهایی از معیار پایداری نایکوئیست توضیح میدهیم.
مثالهای معیار پایداری نایکوئیست
مثال ۱: معیار نایکوئیست
فرض کنید تابع انتقال حلقه باز (OLTF) به صورت 
باشد. آیا این یک سیستم پایدار یا ناپایدار است. شاید بسیاری از شما بگویند که این یک سیستم ناپایدار است زیرا یک قطب در +2 است. با این حال، توجه داشته باشید که پایداری به مخرج تابع انتقال حلقه بسته بستگی دارد.
اگر هر ریشهای از مخرج تابع انتقال حلقه بسته (همچنین معادله مشخصه نامیده میشود) در نیمه مثبت صفحه s باشد، سیستم ناپایدار است. بنابراین در مثال بالا، قطب در +2 میخواهد سیستم را به سمت ناپایداری بکشاند، اما سیستم ممکن است پایدار باشد. در اینجا نمودار نایکوئیست مفید است برای یافتن پایداری.
بر اساس نظریه نایکوئیست Z=N+P (برای هر سیستم، چه پایدار یا ناپایدار).
برای سیستم پایدار، Z=0، یعنی هیچ ریشهای از معادله مشخصه نباید در نیمه مثبت صفحه s باشد.
بنابراین برای سیستم پایدار N = –P.
نمودار نایکوئیست سیستم فوق به صورت زیر است
کد متلب نمودار نایکوئیست
s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')
بر اساس نمودار، نمودار نایکوئیست نقطه –1+j0 (همچنین به عنوان نقطه بحرانی شناخته میشود) یک بار در جهت عکس ساعتگرد دور میزند. بنابراین N= –1، در OLTF یک قطب (در +2) در نیمه مثبت است، بنابراین P =1. میتوانید ببینید N= –P، بنابراین سیستم پایدار است.
اگر ریشههای معادله مشخصه را پیدا کنید، آنها خواهند بود –10.3، –0.86±j1.24. (یعنی سیستم پایدار است)، و Z=0. یک سوال مطرح میشود، اگر ریشههای معادله مشخصه میتوانند پیدا شوند، پس میتوانیم بر اساس آن پایداری را تعیین کنیم، پس نیاز به نمودار نایکوئیست چیست. پاسخ این است که در زمانی که نرمافزارها در دسترس نبودند، نمودار نایکوئیست بسیار مفید بود.
مثال ۲: معیار نایکوئیست
حال مثال دیگری را در نظر بگیرید: 
