Kritérium stability Nyquist: Co to je? (Plus příklady v Matlabu)
Co je Nyquistova kritéria stability?
Nyquistova kritéria stability (nebo Nyquistovy kritéria) je definována jako grafická technika používaná v řídicí technice pro určení stability dynamického systému. Jelikož Nyquistova kritéria stability zohledňuje pouze Nyquistův diagram otevřených řídicích systémů, lze ji aplikovat bez explicitního výpočtu pólů a nul buď uzavřeného, nebo otevřeného systému.
V důsledku toho mohou být Nyquistovy kritéria aplikovány na systémy definované nelineárními funkcemi (například systémy s časovým zpožděním). Na rozdíl od Bodeho diagramů mohou zpracovávat přenosové funkce s singularitami v pravé poloploše.
Nyquistova kritéria stability může být vyjádřena jako:
Z = N + P
Kde:
Z = počet kořenů 1+G(s)H(s) v pravé poloploše s-rovinu (Také se nazývají nuly charakteristické rovnice)
N = počet oběhů kritického bodu 1+j0 ve směru hodinových ručiček
P = počet pólů otevřeného řídicího přenosu (OLTF) [tj. G(s)H(s)] v pravé poloploše s-rovinu.
Výše uvedená podmínka (tj. Z=N+P) platí pro všechny systémy, zda jsou stabilní nebo nestabilní.
Nyní si tuto kritérii vysvětlíme na příkladech Nyquistovy kritéria stability.
Příklady Nyquistovy kritéria stability
Příklad 1 - Nyquistova kritéria
Uvažujme otevřený přenosový poměr (OLTF) jako 
Je to stabilní systém nebo nestabilní. Možná, že většina z vás řekne, že je to nestabilní systém, protože jeden pól je v +2. Nicméně, poznamenejme, že stabilita závisí na jmenovateli uzavřeného přenosového poměru.
Pokud má jakýkoli kořen jmenovatele uzavřeného přenosového poměru (také známý jako charakteristická rovnice) v pravé poloploše s-rovinu, pak je systém nestabilní. V tomto případě pól v +2 se pokusí přinést systém do nestability, ale systém může být stabilní. Zde je užitečný Nyquistův diagram pro nalezení stability.
Podle teorie Nyquista Z=N+P (pro jakýkoli systém, zda je stabilní nebo nestabilní).
Pro stabilní systém, Z=0, tj. žádné kořeny charakteristické rovnice by neměly být v pravé poloploše.
Tedy pro stabilní systém N = –P.
Nyquistův diagram tohoto systému je níže:
Kód pro Nyquistův diagram v MATLABu
s = tf('s')
G1 = 120 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G1, 'red')
Jak je vidět na diagramu, Nyquistův diagram oběhl bod –1+j0 (také známý jako kritický bod) jednou proti směru hodinových ručiček. Proto N= –1, v OLTF je jeden pól (v +2) v pravé poloploše, tedy P =1. Můžete vidět, že N= –P, tedy systém je stabilní.
Pokud najdete kořeny charakteristické rovnice, budou to –10.3, –0.86±j1.24. (tj. systém je stabilní), a Z=0. Může se zeptat, pokud lze najít kořeny charakteristické rovnice, takže můžeme komentovat stabilit性：根据奈奎斯特图，它逆时针方向绕临界点 -1+j0 一圈。因此 N= -1，在开环传递函数中，有一个极点在右半平面，因此 P=1。可以看到 N= -P，因此系统是稳定的。
如果找到特征方程的根，它们将是 -10.3, -0.86±j1.24。（即系统是稳定的），且 Z=0。有人可能会问，如果可以找到特征方程的根，那么我们就可以基于此来评论稳定性，那么为什么还需要奈奎斯特图呢？答案是，在没有软件的时代，奈奎斯特图是非常有用的。
### 奈奎斯特准则示例 2
现在考虑另一个例子：
\[ G(s)H(s)=\dfrac{100}{(s-2)(s+6)(s+8)} \]
奈奎斯特图如下：
#### 奈奎斯特图 MATLAB 代码
```matlab
s = tf('s')
G2 = 100 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G2, 'red')
```
从图中可以看出 N= -1。（奈奎斯特图绕临界点一圈逆时针方向）
在这个例子中 P=1。（开环传递函数的一个极点在右半平面）
所以，N=-P。因此系统是稳定的。
（特征方程的根是 -10.04, -1.72, -0.23）
### 奈奎斯特准则示例 3
再考虑另一个例子：
\[ G(s)H(s)=\dfrac{50}{(s-2)(s+6)(s+8)} \]
这里 P=1。
奈奎斯特图如下：
#### 奈奎斯特图 MATLAB 代码
```matlab
s = tf('s')
G3 = 50 / ((s-2)*(s+6)*(s+8))
nyquist(G3, 'red')
```
可以看到 N=0。（没有绕临界点）。由于 N 不等于 -P，因此系统不稳定。（特征方程的根是 -9.32, -3.92, 1.255） 即 Z=1（一个极点在 1.255 处位于右半平面）。
所以你可以理解，条件 Z=N+P 对所有系统都是有效的。
### 奈奎斯特准则示例 4
现在考虑：
\[ G(s)H(s)=\dfrac{336}{(s-2)(s+6)(s+8)} \]
如果你绘制其奈奎斯特图，它将通过临界点 (-1+j0)。在这种情况下，系统是临界稳定的。
你可以理解‘N’在这种情况下是未定义的（在当前情况下，特征方程的两个根将在原点，一个根在 s 平面的左半部分。因此系统将是临界稳定）。
在以上所有示例中，分母相同，但分子不同，或者说分子是可变的。因此，让我们考虑以下开环传递函数：
\[ G(s)H(s)=\dfrac{K}{(s-2)(s+6)(s+8)} \]
如果你对特征方程 1+G(s)H(s) 应用劳斯-赫尔维茨判据，那么你会找到 K 的范围为 96
