Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktionen sind nichts anderes als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, die verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu beschreiben, mit der ein bestimmtes Teilchen einen bestimmten Energiezustand besetzen kann. Wenn wir von der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion sprechen, interessieren wir uns besonders dafür, die Chance zu erfahren, mit der wir ein Fermion in einem bestimmten Energiezustand eines Atoms finden können (weitere Informationen dazu finden Sie im Artikel “Atomare Energieniveaus”). Hiermit bezeichnen wir die Elektronen eines Atoms, die Teilchen mit ½ Spin sind und dem Pauli-Verbot unterliegen.

Notwendigkeit der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

In Bereichen wie der Elektronik ist ein bestimmter Faktor von primärer Bedeutung, nämlich die Leitfähigkeit von Materialien. Diese Eigenschaft des Materials wird durch die Anzahl der Elektronen verursacht, die innerhalb des Materials frei sind, um Strom zu leiten.

Laut der Bandtheorie (siehe den Artikel “Energiebänder in Kristallen” für weitere Informationen) sind dies die Elektronen, die das Leitungsbündel des betrachteten Materials bilden. Um eine Vorstellung vom Leitungsmechanismus zu haben, ist es notwendig, die Konzentration der Träger im Leitungsbündel zu kennen.

Fermi-Dirac-Verteilungsausdruck

Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Energiezustand E bei der Temperatur T zu finden, wie folgt ausgedrückt:

Wobei,

k ist die Boltzmann-Konstante
T ist die absolute Temperatur
Ef ist das Fermi-Niveau oder die Fermi-Energie

Nun versuchen wir, die Bedeutung des Fermi-Niveaus zu verstehen. Um dies zu erreichen, setzen wir

in Gleichung (1). Durch diese Operation erhalten wir,

Das bedeutet, dass das Fermi-Niveau die Ebene ist, auf der man erwarten kann, dass das Elektron genau 50% der Zeit vorhanden ist.

Fermi-Niveau in Halbleitern

Intrinsische Halbleiter sind reine Halbleiter, die keine Verunreinigungen enthalten. Daher weisen sie eine gleiche Chance auf, ein Loch zu finden, wie ein Elektron. Dies bedeutet, dass sie das Fermi-Niveau genau zwischen dem Leitungsbündel und dem Valenzbündel haben, wie in Abbildung 1a gezeigt.

Als nächstes betrachten wir den Fall eines n-dotierten Halbleiters. Hier kann man mehr Elektronen als Löcher erwarten. Das bedeutet, dass es eine größere Chance gibt, ein Elektron in der Nähe des Leitungsbündels zu finden, als ein Loch im Valenzbündel. Daher liegen diese Materialien ihr Fermi-Niveau näher am Leitungsbündel, wie in Abbildung 1b gezeigt.
Auf ähnlichen Grundsätzen kann man erwarten, dass das Fermi-Niveau im Fall von p-dotierten Halbleitern in der Nähe des Valenzbündels liegt (Abbildung 1c). Dies liegt daran, dass diese Materialien an Elektronen fehlen, d. h. sie haben mehr Löcher, was die Wahrscheinlichkeit erhöht, ein Loch im Valenzbündel zu finden, im Vergleich zur Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Leitungsbündel zu finden.

Einfluss der Temperatur auf die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

Bei T = 0 K haben die Elektronen niedrige Energie und besetzen daher niedrigere Energiezustände. Der höchste Energiezustand unter diesen besetzten Zuständen wird als Fermi-Niveau bezeichnet. Dies bedeutet, dass keine Energiezustände, die über dem Fermi-Niveau liegen, von Elektronen besetzt sind. Somit haben wir eine Stufenfunktion, die die Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion definiert, wie in Abbildung 2 durch die schwarze Kurve dargestellt.
Mit zunehmender Temperatur gewinnen die Elektronen jedoch mehr und mehr Energie, wodurch sie sogar in das Leitungsbündel steigen können. Daher lassen sich bei höheren Temperaturen die besetzten und unbesetzten Zustände nicht mehr klar voneinander unterscheiden, wie durch die blauen und roten Kurven in Abbildung 2 angedeutet.

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