Funkce Fermiho-Diracova rozdělení

Rozdělovací funkce jsou nic jiného než hustoty pravděpodobnosti používané k popisu pravděpodobnosti, s jakou může konkrétní částice obsadit určitou energetickou úroveň. Když mluvíme o Fermi-Diracově rozdělovací funkci, zvlášť nás zajímá pravděpodobnost, s jakou můžeme najít fermion v určitém energetickém stavu atomu (více informací o tomto tématu najdete v článku “Energetické stavy atomu”). Zde pod fermiony rozumíme elektrony atomu, což jsou částice se spinem ½, které jsou vázány Pauliho výbavným principem.

Nutnost Fermi-Diracovy rozdělovací funkce

V oblastech jako je elektrotechnika je jedním z klíčových faktorů vodivost materiálů. Tato charakteristika materiálu je způsobena počtem elektronů, které jsou volné uvnitř materiálu pro vedení elektřiny.

Podle teorie energetických pásem (pro více informací viz článek “Energetická pásma v krystalech”) jsou toto počet elektronů, které tvoří vodičové pásmo materiálu. Abychom měli představu o mechanismu vedení, je nutné znát koncentraci nosičů v vodičovém pásmu.

Výraz Fermi-Diracovy rozdělovací funkce

Matematicky se pravděpodobnost nalezení elektronu v energetickém stavu E při teplotě T vyjadřuje jako

Kde,

je Boltzmannova konstanta
T je absolutní teplota
Ef je Fermiho úroveň nebo Fermiho energie

Nyní se pokusme pochopit význam Fermiho úrovně. Pro dosažení tohoto cíle položte

do rovnice (1). Uděláním tohoto dostaneme,

To znamená, že Fermiho úroveň je úroveň, na které lze očekávat, že elektron bude přítomen přesně 50% času.

Fermiho úroveň v polovodičích

Intrinsické polovodiče jsou čisté polovodiče, které nemají žádné impurity. V důsledku toho mají stejnou šanci najít dutinku jako elektron. To znamená, že mají Fermiho úroveň přesně mezi vodičovým a valenčním pásmem, jak je znázorněno na obrázku 1a.

Dále uvažujme případ n-typu polovodiče. Zde lze očekávat, že bude přítomných více elektronů než dutinek. To znamená, že je větší šance najít elektron blízko vodičovému pásmu než dutinku v valenčním pásmu. Tyto materiály mají svou Fermiho úroveň umístěnou blíž k vodičovému pásmu, jak je znázorněno na obrázku 1b.
Pokračujíc tímto směrem, lze očekávat, že Fermiho úroveň v případě p-typu polovodiče bude přítomna blízko valenčnímu pásmu (Obrázek 1c). To proto, že tyto materiály trpí nedostatkem elektronů, tj. mají více dutinek, což zvyšuje pravděpodobnost nalezení dutinky v valenčním pásmu v porovnání s nalezením elektronu v vodičovém pásmu.

Vliv teploty na Fermi-Diracovu rozdělovací funkci

Při T = 0 K budou elektrony mít nízkou energii a tedy obsazovat nižší energetické stavy. Nejvyšší energetický stav mezi těmito obsazenými stavy se nazývá Fermiho úroveň. To znamená, že žádné energetické stavy, které leží nad Fermiho úrovní, nejsou elektrony obsazeny. Tedy máme skokovou funkci definující Fermi-Diracovu rozdělovací funkci, jak je znázorněno černou křivkou na Obrázku 2.
Avšak s narůstající teplotou elektrony získávají více energie, díky čemuž mohou dokonce vystoupit do vodičového pásmu. Tedy při vyšších teplotách již nelze jasně rozlišit mezi obsazenými a neobsazenými stavy, jak ukazují modrá a červená křivka na Obrázku 2.

Prohlášení: Respektujte původ, dobaře napsané články stojí za sdílení, pokud je zde porušení autorských práv, kontaktujte nás pro jejich odebrání.