دالة توزيع فرمي-ديراك

دوال التوزيع ليست إلا دوال الكثافة الاحتمالية المستخدمة لوصف احتمال وجود جسيم معين في مستوى طاقة معين. عندما نتحدث عن دالة توزيع فريمي-ديراك، فإننا مهتمون بشكل خاص بمعرفة الفرصة التي يمكن من خلالها العثور على فيرميون في حالة طاقة معينة للذرة (لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، يمكنك الرجوع إلى المقالة “مستويات الطاقة الذرية”). هنا، بمعنى الفيرميونات، نعني الإلكترونات في الذرة وهي الجسيمات ذات الدوران النصفي المرتبطة بمبدأ استبعاد باولي.

ضرورة دالة توزيع فريمي-ديراك

في مجالات مثل الإلكترونيات، هناك عامل واحد مهم للغاية وهو قابلية التوصيل للمواد. يتم تحقيق هذه الخاصية للمادة من خلال عدد الإلكترونات الحرة داخل المادة والتي يمكنها توصيل الكهرباء.

وفقًا لنظرية الحزام الطاقي (راجع المقالة “الحزام الطاقي في البلورات” لمزيد من المعلومات)، فإن هذه هي عدد الإلكترونات التي تشكل حزام التوصيل للمادة المعنية. وبالتالي، من أجل الحصول على فكرة عن آلية التوصيل، من الضروري معرفة تركيز الناقلات في حزام التوصيل.

تعبير دالة توزيع فريمي-ديراك

رياضياً، يتم التعبير عن احتمال العثور على إلكترون في حالة الطاقة E عند درجة الحرارة T كالتالي:

حيث،

k هو ثابت بولتزمان
T هي درجة الحرارة المطلقة
Ef هو مستوى فريمي أو طاقة فريمي

الآن، دعونا نحاول فهم معنى مستوى فريمي. من أجل تحقيق هذا، ضع

في المعادلة (1). عن طريق القيام بذلك، نحصل على،

وهذا يعني أن مستوى فريمي هو المستوى الذي يمكن توقع وجود الإلكترون فيه بنسبة 50% بالضبط.

مستوى فريمي في شبه الموصلات

شبه الموصلات الأصلية هي مواد نقية شبه موصلة لا تحتوي على شوائب. نتيجة لذلك، يتميزون بفرصة متساوية لإيجاد فجوة كما هو الحال بالنسبة للإلكترون. وهذا بدوره يعني أن لديهم مستوى فريمي بالضبط بين حزام التوصيل والحزام القياسي كما هو موضح في الشكل 1أ.

بعد ذلك، فلنعتبر حالة شبه الموصلات من النوع n. هنا، يمكن توقع وجود عدد أكبر من الإلكترونات بالمقارنة مع الفجوات. هذا يعني أن هناك فرصة أكبر لإيجاد إلكترون بالقرب من حزام التوصيل من العثور على فجوة في الحزام القياسي. وبالتالي، تكون مستويات فريمي لهذه المواد أقرب إلى حزام التوصيل كما هو موضح في الشكل 1ب.
تبعًا لنفس الأسس، يمكن توقع أن يكون مستوى فريمي في حالة شبه الموصلات من النوع p بالقرب من الحزام القياسي (الشكل 1ج). هذا لأن هذه المواد تفتقر إلى الإلكترونات أي أنها تحتوي على عدد أكبر من الفجوات مما يجعل احتمال العثور على فجوة في الحزام القياسي أكبر بالمقارنة مع العثور على إلكترون في حزام التوصيل.

تأثير درجة الحرارة على دالة توزيع فريمي-ديراك

عند T = 0 K، ستكون للإلكترونات طاقة منخفضة وبالتالي ستحتل حالات طاقة منخفضة. أعلى حالة طاقة بين هذه الحالات المشغولة يشار إليها باسم مستوى فريمي. وهذا يعني أنه لا توجد حالات طاقة تقع فوق مستوى فريمي مشغولة بالإلكترونات. وبالتالي، لدينا دالة خطوة تحدد دالة توزيع فريمي-ديراك كما هو موضح بالمنحنى الأسود في الشكل 2.
ومع ذلك، كلما زادت درجة الحرارة، تحصل الإلكترونات على المزيد والمزيد من الطاقة مما يمكنها حتى الوصول إلى حزام التوصيل. وبالتالي، عند درجات الحرارة الأعلى، لا يمكن تمييز واضح بين الحالات المشغولة وغير المشغولة كما هو موضح بالمنحنيات الزرقاء والحمراء في الشكل 2.

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، إذا كان هناك انتهاك للحقوق يرجى التواصل للحذف.