Funkcija Fermi-Diracove porazdelitve

Porazdelitvene funkcije so nič drugega kot funkcije gostote verjetnosti, ki se uporabljajo za opis verjetnosti, s katero lahko določena častica zasede določeno energetsko raven. Ko govorimo o Fermi-Diracovi porazdelitveni funkciji, nas zlasti zanima verjetnost, da najdemo fermion v določenem energentem stanju atoma (več informacij o tem je mogoče najti v članku “Energetske ravni atomov”). Tukaj z fermioni mislimo na elektrone atoma, ki so delci z ½ spinom, vezani na Paulijev princip izključitve.

Potrebnost Fermi-Diracove porazdelitvene funkcije

V področjih, kot so elektronika, je eden od ključnih faktorjev prevodnost materialov. Ta značilnost materiala je posledica števila elektronov, ki so svobodni znotraj materiala za prevajanje električne energije.

Po teoriji energetskih pasov (glej članek “Energetski pasovi v kristalih” za več informacij) so to elektroni, ki sestavljajo prevajalni pas upoštevanega materiala. Zato, da bi imeli predstavo o mehanizmu prevajanja, je potrebno poznati koncentracijo nosilcev v prevajalnem pasu.

Izraz Fermi-Diracove porazdelitvene funkcije

Matematično je verjetnost, da bomo našli elektron v energentem stanju E pri temperaturi T, izražena kot

Kjer je,

Boltzmannova konstanta
T je absolutna temperatura
Ef je Fermijska raven ali Fermijeva energija

Zdaj poskusimo razumeti pomen Fermijeve ravni. Za to moramo postaviti

v enačbo (1). S tem dobimo,

To pomeni, da je Fermijeva raven raven, pri katerem lahko pričakujemo, da bo elektron prisoten točno 50% časa.

Fermijeva raven v polprevodnikih

Intrinzični polprevodniki so čisti polprevodniki, ki niso zamenjani z drugimi snovmi. Zaradi tega imajo enako možnost, da najdemo luknjo kot elektron. To pomeni, da imajo Fermijev raven točno med prevajalnim in valentnim pasom, kot je prikazano na Sliki 1a.

Naslednje, upoštevajmo primer n-tipa polprevodnika. Tukaj lahko pričakujemo, da bo več elektronov prisotnih v primerjavi s luknjami. To pomeni, da je večja možnost, da najdemo elektron blizu prevajalnega pasu kot luknjo v valentnem pasu. Torej imajo ti materiali svojo Fermijev raven bližje prevajalnemu pasu, kot je prikazano na Sliki 1b.
Z istim sklepanjem lahko pričakujemo, da bo Fermijeva raven v primeru p-tipa polprevodnika bližje valentnemu pasu (Slika 1c). To je zato, ker ti materiali nimajo dovolj elektronov, torej imajo več luknj, kar povečuje verjetnost, da najdemo luknjo v valentnem pasu v primerjavi s elektronom v prevajalnem pasu.

Vpliv temperature na Fermi-Diracovo porazdelitveno funkcijo

Pri T = 0 K bodo elektroni imeli nizko energijo in zato zasedli nižje energetske stanja. Najvišje energentno stanje med temi zasedenimi stanji se imenuje Fermijeva raven. To pomeni, da nobena energentska stanja, ki se nahajajo nad Fermijevo raven, niso zasedena s strani elektronov. Torej imamo stopnico, ki definira Fermi-Diracovo porazdelitveno funkcijo, kot je prikazano s črno krivuljo na Sliki 2.
Ko pa temperatura narašča, elektroni pridobijo več in več energije, zaradi česar lahko celo prestopijo v prevajalni pas. Torej pri višjih temperaturah ne moremo jasno ločiti med zasedenimi in nezasedenimi stanji, kot kažejo modra in rdeča krivulja na Sliki 2.

Izjava: Spoštujte original, dobre članke so vredni deljenja, če je kršenje avtorskih pravic se obvestite za brisanje.