فرمی ڈیریک تقسیم کا فنکشن

یشن کے فنکشن کچھ نہیں بلکہ احتمال کثافت کے فنکشن ہیں جو کسی خاص ذرہ کے کسی خاص توانائی کے سطح پر موجود ہونے کے امکان کی وضاحت کرتے ہیں۔ جب ہم فرمی-ڈائریک توزیع فنکشن کے بارے میں بات کرتے ہیں، تو ہم خصوصی طور پر ایک فرمیون کو ایٹم کے کسی خاص توانائی کے رتبے میں پایا جانے کے امکان کو جاننا چاہتے ہیں (اس معلومات کو "ایٹمک توانائی کے سطح" کے مضامین میں مزید پڑھا جا سکتا ہے)۔ یہاں، فرمیون کے معنی میں ہم ایٹم کے الیکٹران کو لیتے ہیں جو ½ اسپن کے ذرات ہوتے ہیں، جو پاؤلی استثناء کے اصول کے مطابق بند ہوتے ہیں۔

فرمی-ڈائریک توزیع فنکشن کی ضرورت

کٹرانکس کے شعبے میں، مادوں کی کنڈکٹیوٹی کا ایک خاص عنصر اہمیت کا حامل ہے۔ یہ مادے کی خصوصیت مادے کے اندر آزاد الیکٹران کی تعداد کی وجہ سے پیدا ہوتی ہے جو بجلی کی کنڈکشن کے لئے آزاد ہوتے ہیں۔

توانائی کے بینڈ کے نظریے کے مطابق (مزید معلومات کے لئے "کریسٹلز میں توانائی کے بینڈ" کے مضامین کو دیکھیں)، یہ الیکٹران مادے کے کنڈکشن بینڈ کا حصہ ہوتے ہیں۔ اس لیے کنڈکشن کے منصوبے کو سمجھنے کے لئے، کنڈکشن بینڈ میں کیریئرز کی تراکم کو جاننا ضروری ہے۔

فرمی-ڈائریک توزیع کا اظہار

ریاضیاتی طور پر، الیکٹران کو توانائی کے رتبے E پر درجہ حرارت T پر پایا جانے کا امکان ایسے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے

جہاں،

بولٹزمن دائم ہے
T مطلق درجہ حرارت ہے
Ef فرمی سطح یا فرمی توانائی ہے

اب، ہم فرمی سطح کے معنی کو سمجھنے کی کوشش کرتے ہیں۔ اس کے لئے، ڈالیں

معادلہ (1) میں۔ اس کرنے سے، ہم کو ملتا ہے،

یہ مطلب ہے کہ فرمی سطح وہ سطح ہے جہاں الیکٹران کو بالکل 50٪ وقت موجود ہونے کا امکان ہوتا ہے۔

سمیکنڈکٹروں میں فرمی سطح

موجودہ سمیکنڈکٹروں خالص سمیکنڈکٹروں ہوتے ہیں جن میں کوئی آلودگی نہیں ہوتی ہے۔ اس کے نتیجے میں، ان کا خالص سمیکنڈکٹروں کے درمیان ہول کو پایا جانے کا امکان الیکٹران کے پایا جانے کے امکان کے برابر ہوتا ہے۔ یہ باریکہ یہ بات کیا جاتی ہے کہ ان کا فرمی سطح کنڈکشن اور والنس بینڈ کے درمیان بالکل موجود ہوتا ہے جیسے کہ شکل 1a میں دکھایا گیا ہے۔

اگلا، ایک n-ٹائپ سمیکنڈکٹر کی صورتحال کو دیکھیں۔ یہاں، ہم الیکٹران کی تعداد کو زیادہ پایا جانے کا امکان ہوتا ہے جس کی نسبت سے ہول کی تعداد کم ہوتی ہے۔ یہ مطلب ہے کہ کنڈکشن بینڈ کے قریب الیکٹران پایا جانے کا امکان والنس بینڈ میں ہول پایا جانے کے امکان سے زیادہ ہوتا ہے۔ اس لیے، ان مادوں کا فرمی سطح کنڈکشن بینڈ کے قریب موجود ہوتا ہے جیسے کہ شکل 1b میں دکھایا گیا ہے۔
اسی طرح، ہم p-ٹائپ سمیکنڈکٹروں کی صورتحال میں فرمی سطح کو والنس بینڈ کے قریب موجود ہونے کا امکان ہے (شکل 1c)۔ یہ اس لیے ہے کہ یہ مادے الیکٹران کی کمی کا سبب بناتے ہیں، یعنی ان کے پاس ہول کی تعداد زیادہ ہوتی ہے جس سے والنس بینڈ میں ہول پایا جانے کا امکان کنڈکشن بینڈ میں الیکٹران پایا جانے کے امکان سے زیادہ ہوتا ہے۔

درجہ حرارت کا فرمی-ڈائریک توزیع فنکشن پر اثر

T = 0 K پر، الیکٹران کو کم توانائی ہوتی ہے اور اس لیے وہ کم توانائی کے رتبے کو پرکھاتے ہیں۔ ان میں سے سب سے زیادہ توانائی کا رتبہ فرمی سطح کے طور پر جانا جاتا ہے۔ یہ باریکہ یہ بات کیا جاتی ہے کہ فرمی سطح سے اوپر کوئی توانائی کا رتبہ الیکٹران کے پرکھنے کے لئے خالی ہوتا ہے۔ اس لیے ہم کے ساتھ ایک قدم فنکشن کو فرمی-ڈائریک توزیع فنکشن کے طور پر ظاہر کرتے ہیں جیسے کہ شکل 2 میں کالی منحنی کے ذریعے دکھایا گیا ہے۔
لیکن جب درجہ حرارت بڑھتا ہے، تو الیکٹران کو زیادہ توانائی ملتی ہے جس کی وجہ سے وہ کنڈکشن بینڈ تک بھی پہنچ سکتے ہیں۔ اس لیے عالی درجات حرارت پر، ہم کو پرکھے گئے اور ناپرکھے گئے رتبے کو واضح طور پر نہیں دیکھ سکتے جیسے کہ شکل 2 میں نیلی اور سرخ منحنیوں کے ذریعے دکھایا گیا ہے۔

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.