Fonction de distribution de Fermi-Dirac

Les fonctions de distribution ne sont rien d'autre que les fonctions de densité de probabilité utilisées pour décrire la probabilité avec laquelle une particule particulière peut occuper un niveau d'énergie particulier. Lorsque nous parlons de la fonction de distribution de Fermi-Dirac, nous sommes particulièrement intéressés à connaître la chance de trouver un fermion dans un état énergétique particulier d'un atome (plus d'informations sur ce sujet peuvent être trouvées dans l'article “Niveaux d'énergie atomiques”). Ici, par fermions, nous entendons les électrons d'un atome qui sont des particules avec un spin de ½, soumises au principe d'exclusion de Pauli.

Nécessité de la fonction de distribution de Fermi-Dirac

Dans des domaines comme l'électronique, un facteur particulièrement important est la conductivité des matériaux. Cette caractéristique du matériau est due au nombre d'électrons libres dans le matériau pour conduire l'électricité.

Selon la théorie des bandes d'énergie (voir l'article “Bandes d'énergie dans les cristaux” pour plus d'informations), ce sont ces électrons qui constituent la bande de conduction du matériau considéré. Ainsi, pour avoir une idée sur le mécanisme de conduction, il est nécessaire de connaître la concentration des porteurs dans la bande de conduction.

Expression de la fonction de distribution de Fermi-Dirac

Mathématiquement, la probabilité de trouver un électron dans l'état d'énergie E à la température T est exprimée par

Où,

est la constante de Boltzmann
T est la température absolue
Ef est le niveau de Fermi ou l'énergie de Fermi

Maintenant, essayons de comprendre le sens du niveau de Fermi. Pour cela, mettons

dans l'équation (1). En faisant cela, nous obtenons,

Cela signifie que le niveau de Fermi est le niveau auquel on peut s'attendre à ce que l'électron soit présent exactement 50% du temps.

Niveau de Fermi dans les semi-conducteurs

Les semi-conducteurs intrinsèques sont des semi-conducteurs purs qui n'ont pas d'impuretés. En conséquence, ils se caractérisent par une chance égale de trouver un trou que celle de trouver un électron. Cela implique qu'ils ont le niveau de Fermi exactement entre la bande de conduction et la bande de valence, comme le montre la Figure 1a.

Ensuite, considérons le cas d'un semi-conducteur de type n. Ici, on peut s'attendre à trouver plus d'électrons en comparaison avec les trous. Cela signifie qu'il y a une plus grande chance de trouver un électron près de la bande de conduction que de trouver un trou dans la bande de valence. Ainsi, ces matériaux ont leur niveau de Fermi situé plus près de la bande de conduction, comme le montre la Figure 1b.
Sur la même base, on peut s'attendre à ce que le niveau de Fermi dans le cas des semi-conducteurs de type p soit situé près de la bande de valence (Figure 1c). Cela est dû au fait que ces matériaux manquent d'électrons, c'est-à-dire qu'ils ont plus de trous, ce qui rend la probabilité de trouver un trou dans la bande de valence plus élevée que celle de trouver un électron dans la bande de conduction.

Effet de la température sur la fonction de distribution de Fermi-Dirac

À T = 0 K, les électrons auront une faible énergie et occuperont donc des états d'énergie inférieurs. L'état d'énergie le plus élevé parmi ces états occupés est appelé niveau de Fermi. Cela signifie qu'aucun état d'énergie situé au-dessus du niveau de Fermi n'est occupé par des électrons. Ainsi, nous avons une fonction en escalier définissant la fonction de distribution de Fermi-Dirac comme le montre la courbe noire de la Figure 2.
Cependant, lorsque la température augmente, les électrons gagnent de plus en plus d'énergie, ce qui leur permet même de monter à la bande de conduction. Ainsi, à des températures plus élevées, on ne peut plus clairement distinguer entre les états occupés et non occupés, comme l'indiquent les courbes bleue et rouge de la Figure 2.

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