Fermi-Dirac-verdelingsfunctie

Verdelingsfuncties zijn niets anders dan kansdichtheidsfuncties die worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te beschrijven waarmee een bepaald deeltje een bepaald energieniveau kan bezetten. Wanneer we spreken over de Fermi-Dirac verdelingsfunctie, zijn we specifiek geïnteresseerd in de kans om een fermion in een bepaalde energietoestand van een atoom te vinden (meer informatie hierover is te vinden in het artikel “Atoomenergieniveaus”). Hiermee bedoelen we de elektronen van een atoom, die deeltjes met een spin van ½ zijn en gebonden aan het Pauli-uitsluitingsprincipe.

Noodzaak van de Fermi-Dirac verdelingsfunctie

In vakgebieden zoals elektronica is één bepaald factor van primair belang, namelijk de geleidbaarheid van materialen. Deze eigenschap van het materiaal wordt bepaald door het aantal elektronen dat vrij is binnen het materiaal om stroom te geleiden.

Volgens de energiebandentheorie (zie het artikel “Energiebanden in kristallen” voor meer informatie) zijn dit de elektronen die de geleidingsband van het beschouwde materiaal vormen. Om dus een idee te krijgen van het geleidingsmechanisme, is het nodig om de concentratie van de dragers in de geleidingsband te kennen.

Fermi-Dirac verdelingsexpressie

Wiskundig wordt de waarschijnlijkheid om een elektron in de energietoestand E bij temperatuur T als volgt uitgedrukt:

Waarbij,

is de Boltzmann-constante
T is de absolute temperatuur
Ef is het Fermi-niveau of de Fermi-energie

Laten we nu proberen de betekenis van het Fermi-niveau te begrijpen. Om dit te bereiken, zetten we

in vergelijking (1). Door dit te doen, krijgen we,

Dit betekent dat het Fermi-niveau het niveau is waarop men de elektron kan verwachten precies 50% van de tijd aanwezig te zijn.

Fermi-niveau in halfgeleiders

Intrinsieke halfgeleiders zijn zuivere halfgeleiders die geen impuriteiten bevatten. Als gevolg hiervan hebben ze een gelijke kans om een gat te vinden als een elektron. Dit betekent op zijn beurt dat ze het Fermi-niveau precies tussen de geleidingsband en de valentieband hebben, zoals wordt getoond in figuur 1a.

Overweeg vervolgens het geval van een n-type halfgeleider. Hier kan men verwachten dat er meer elektronen aanwezig zijn in vergelijking met gaten. Dit betekent dat er een grotere kans is om een elektron dicht bij de geleidingsband te vinden dan om een gat in de valentieband te vinden. Dus hebben deze materialen hun Fermi-niveau dichter bij de geleidingsband, zoals wordt getoond in figuur 1b.
Op dezelfde gronden kan men verwachten dat het Fermi-niveau in het geval van p-type halfgeleiders dicht bij de valentieband ligt (figuur 1c). Dit komt omdat deze materialen elektronen ontbreken, wat betekent dat ze meer gaten hebben, waardoor de kans om een gat in de valentieband te vinden groter is in vergelijking met de kans om een elektron in de geleidingsband te vinden.

Invloed van temperatuur op de Fermi-Dirac verdelingsfunctie

Bij T = 0 K hebben de elektronen weinig energie en bezetten dus lagere energiestaten. De hoogste energietoestand onder deze bezette toestanden wordt het Fermi-niveau genoemd. Dit betekent dat geen enkele energietoestand boven het Fermi-niveau bezet is door elektronen. Dus hebben we een stapfunctie die de Fermi-Dirac verdelingsfunctie definieert, zoals wordt getoond door de zwarte curve in figuur 2.
Echter, naarmate de temperatuur stijgt, krijgen de elektronen meer en meer energie, waardoor ze zelfs naar de geleidingsband kunnen stijgen. Dus bij hogere temperaturen kan men niet duidelijk onderscheid maken tussen de bezette en onbezette toestanden, zoals wordt aangegeven door de blauwe en rode curves in figuur 2.

Verklaring: Respecteer het origineel, goede artikelen zijn de moeite waard om te delen, indien er sprake is van inbreuk neem dan contact op om te verwijderen.