Funzione di distribuzione di Fermi-Dirac

Le funzioni di distribuzione non sono altro che le funzioni di densità di probabilità utilizzate per descrivere la probabilità con cui una particolare particella può occupare un determinato livello energetico. Quando parliamo della funzione di distribuzione di Fermi-Dirac, siamo particolarmente interessati a conoscere la possibilità di trovare un fermione in uno stato energetico specifico di un atomo (maggiori informazioni su questo possono essere trovate nell'articolo “Stati Energetici Atomici”). Qui, con il termine fermioni, intendiamo gli elettroni di un atomo, che sono particelle con spin ½, soggette al principio di esclusione di Pauli.

Necessità della Funzione di Distribuzione di Fermi-Dirac

In campi come l'elettronica, un fattore di primaria importanza è la conduttività dei materiali. Questa caratteristica del materiale è determinata dal numero di elettroni liberi all'interno del materiale per condurre l'elettricità.

Secondo la teoria delle bande di energia (si veda l'articolo “Bande di Energia nei Cristalli” per maggiori informazioni), questi sono il numero di elettroni che costituiscono la banda di conduzione del materiale considerato. Pertanto, per avere un'idea sul meccanismo di conduzione, è necessario conoscere la concentrazione dei portatori nella banda di conduzione.

Espressione della Funzione di Distribuzione di Fermi-Dirac

Matematicamente, la probabilità di trovare un elettrone nello stato energetico E alla temperatura T è espressa come

Dove,

è la costante di Boltzmann
T è la temperatura assoluta
Ef è il livello di Fermi o l'energia di Fermi

Ora, proviamo a comprendere il significato del livello di Fermi. Per farlo, poniamo

nell'equazione (1). Facendo ciò, otteniamo,

Questo significa che il livello di Fermi è il livello al quale ci si può aspettare che l'elettrone sia presente esattamente il 50% del tempo.

Livello di Fermi nei Semiconduttori

I semiconduttori intrinseci sono semiconduttori puri che non hanno impurità. Di conseguenza, sono caratterizzati da un'uguale probabilità di trovare un buco rispetto a quella di trovare un elettrone. Ciò implica che hanno il livello di Fermi esattamente tra la banda di conduzione e la banda di valenza, come mostrato dalla Figura 1a.

Successivamente, consideriamo il caso di un semiconduttore n-tip. Qui, ci si può aspettare un numero maggiore di elettroni rispetto ai buchi. Ciò significa che c'è una maggiore probabilità di trovare un elettrone vicino alla banda di conduzione rispetto a quella di trovare un buco nella banda di valenza. Pertanto, questi materiali hanno il loro livello di Fermi posizionato più vicino alla banda di conduzione, come mostrato dalla Figura 1b.
Seguendo le stesse basi, ci si può aspettare che il livello di Fermi nel caso di semiconduttori p-tip sia presente vicino alla banda di valenza (Figura 1c). Questo perché questi materiali mancano di elettroni, ovvero hanno un numero maggiore di buchi, il che rende la probabilità di trovare un buco nella banda di valenza maggiore rispetto a quella di trovare un elettrone nella banda di conduzione.

Effetto della temperatura sulla Funzione di Distribuzione di Fermi-Dirac

A T = 0 K, gli elettroni avranno bassa energia e quindi occuperanno stati energetici inferiori. Lo stato energetico più alto tra questi stati occupati viene definito livello di Fermi. Ciò significa che nessuno stato energetico che si trova sopra il livello di Fermi è occupato dagli elettroni. Pertanto, abbiamo una funzione a gradino che definisce la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac come mostrato dalla curva nera nella Figura 2.
Tuttavia, man mano che la temperatura aumenta, gli elettroni acquisiscono sempre più energia, grazie alla quale possono persino salire alla banda di conduzione. Pertanto, a temperature più elevate, non si può distinguere chiaramente tra gli stati occupati e quelli non occupati, come indicano le curve blu e rosse nella Figura 2.

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