ফার্মি-ডিরাক বণ্টন ফাংশন

বিতরণ ফাংশনগুলি হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন যা একটি নির্দিষ্ট কণার একটি নির্দিষ্ট শক্তি স্তরে থাকার সম্ভাবনাকে বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। যখন আমরা ফার্মি-ডিরাক বিতরণ ফাংশন সম্পর্কে কথা বলি, তখন আমরা বিশেষভাবে জানতে চাই যে একটি ফার্মিওন একটি অণুর নির্দিষ্ট শক্তি স্তরে থাকার সম্ভাবনা কত (এই বিষয়ে আরও তথ্য পাওয়া যাবে “পরমাণু শক্তি স্তর” নামক নিবন্ধে)। এখানে, ফার্মিওন দ্বারা আমরা বোঝাই একটি অণুর ইলেকট্রন যা ½ স্পিনের কণা এবং পলি বিবর্জন নীতির অধীন।

ফার্মি-ডিরাক বিতরণ ফাংশনের প্রয়োজনীয়তা

ইলেকট্রনিক্স এর মতো ক্ষেত্রে, উপকরণের পরিবাহিতা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এই বৈশিষ্ট্য উপকরণের মধ্যে বিদ্যমান ইলেকট্রনের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়, যারা বিদ্যুৎ পরিবাহিতা করতে স্বাধীন।

শক্তি ব্যান্ড তত্ত্ব অনুসারে (আরও তথ্যের জন্য “ক্রিস্টালের শক্তি ব্যান্ড” নামক নিবন্ধ দেখুন), এই ইলেকট্রনগুলি উপকরণের পরিবাহিতা ব্যান্ড গঠন করে। তাই পরিবাহিতা প্রক্রিয়ার উপর ধারণা পাওয়ার জন্য, পরিবাহিতা ব্যান্ডে ক্যারিয়ারদের ঘনত্ব জানা প্রয়োজন।

ফার্মি-ডিরাক বিতরণ ফাংশনের প্রকাশ

গাণিতিকভাবে, তাপমাত্রা T তে শক্তি স্তর E-তে একটি ইলেকট্রন খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়:

যেখানে,

k হল বল্টজম্যান ধ্রুবক
T হল পরম তাপমাত্রা
Ef হল ফার্মি স্তর বা ফার্মি শক্তি

এখন, আমরা ফার্মি স্তরের অর্থ বোঝার চেষ্টা করি। এই লক্ষ্যে, আমরা নিম্নলিখিতটি বসাই:

সমীকরণ (1)-এ। এটি করলে, আমরা পাই,

এটি বোঝায় যে ফার্মি স্তর হল এমন একটি স্তর যেখানে ইলেকট্রন ঠিক 50% সময় থাকা আশা করা যায়।

অর্ধপরিবাহীতে ফার্মি স্তর

অন্তর্নিহিত অর্ধপরিবাহী হল নির্দোষ অর্ধপরিবাহী যার মধ্যে কোনো অশুদ্ধি নেই। ফলে, এগুলি একটি ছিদ্র খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা একটি ইলেকট্রন খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনার সমান। এটি প্রতিবাদ করে যে, তারা পরিবাহিতা এবং বালেন্স ব্যান্ডের মধ্যে ফার্মি-স্তর ঠিক মাঝখানে রাখে, যা চিত্র 1a দ্বারা দেখানো হয়।

এবার, n-ধরনের অর্ধপরিবাহী-এর ক্ষেত্রটি বিবেচনা করুন। এখানে, একটি ছিদ্রের তুলনায় ইলেকট্রনের সংখ্যা বেশি থাকার আশা করা যায়। এটি বোঝায় যে, পরিবাহিতা ব্যান্ডের কাছাকাছি ইলেকট্রন খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা বালেন্স ব্যান্ডে ছিদ্র খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনার চেয়ে বেশি। তাই, এই উপকরণগুলি তাদের ফার্মি-স্তর পরিবাহিতা ব্যান্ডের কাছাকাছি রাখে, যা চিত্র 1b দ্বারা দেখানো হয়।
একই ভিত্তিতে, p-ধরনের অর্ধপরিবাহী-এর ক্ষেত্রে ফার্মি-স্তর বালেন্স ব্যান্ডের কাছাকাছি থাকবে (চিত্র 1c)। এটি কারণ, এই উপকরণগুলি ইলেকট্রনে ঘাটতি রাখে, অর্থাৎ তারা বেশি সংখ্যক ছিদ্র রাখে, যা বালেন্স ব্যান্ডে ছিদ্র খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনাকে পরিবাহিতা ব্যান্ডে ইলেকট্রন খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনার চেয়ে বেশি করে তোলে।

তাপমাত্রার প্রভাব ফার্মি-ডিরাক বিতরণ ফাংশনে

T = 0 K তাপমাত্রায়, ইলেকট্রনগুলি কম শক্তি থাকে এবং তাই কম শক্তি স্তরগুলিতে অধিকার করে। এই অধিকারকৃত স্তরগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ শক্তি স্তরকে ফার্মি-স্তর বলা হয়। এটি বোঝায় যে, ফার্মি-স্তরের উপরে কোনো শক্তি স্তর ইলেকট্রন দ্বারা অধিকার করা হয় না। তাই আমরা একটি স্টেপ ফাংশন পাই যা ফার্মি-ডিরাক বিতরণ ফাংশন হিসাবে চিত্র 2-এ দেখানো হয়।
তবে তাপমাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে, ইলেকট্রনগুলি বেশি শক্তি অর্জন করে, যার ফলে তারা পরিবাহিতা ব্যান্ডে উঠতে পারে। তাই উচ্চ তাপমাত্রায়, অধিকারকৃত এবং অধিকারকৃত নয় এমন স্তরগুলির মধ্যে পার্থক্য স্পষ্টভাবে চিহ্নিত করা যায় না, যা চিত্র 2-এ নীল এবং লাল বক্ররেখায় দেখানো হয়।

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.