Função de Distribuição Fermi-Dirac

As funções de distribuição não são nada mais do que as funções de densidade de probabilidade usadas para descrever a probabilidade com a qual uma partícula particular pode ocupar um nível de energia específico. Quando falamos da função de distribuição Fermi-Dirac, estamos particularmente interessados em saber a chance de encontrar um férmion em um estado de energia específico de um átomo (mais informações sobre isso podem ser encontradas no artigo “Níveis de Energia Atômica”). Aqui, por férmions, queremos dizer os elétrons de um átomo, que são partículas com spin ½, sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli.

Necessidade da Função de Distribuição Fermi-Dirac

Em campos como a eletrônica, um fator particular de importância primordial é a condutividade dos materiais. Essa característica do material é trazida pelo número de elétrons que são livres dentro do material para conduzir eletricidade.

De acordo com a teoria das bandas de energia (consulte o artigo “Bandas de Energia em Cristais” para mais informações), esses são o número de elétrons que constituem a banda de condução do material considerado. Portanto, para ter uma ideia sobre o mecanismo de condução, é necessário conhecer a concentração dos portadores na banda de condução.

Expressão da Distribuição Fermi-Dirac

Matematicamente, a probabilidade de encontrar um elétron no estado de energia E à temperatura T é expressa como

Onde,

é a constante de Boltzmann
T é a temperatura absoluta
Ef é o nível de Fermi ou a energia de Fermi

Agora, vamos tentar entender o significado do nível de Fermi. Para alcançar isso, coloque

na equação (1). Ao fazer isso, obtemos,

Isso significa que o nível de Fermi é o nível no qual se pode esperar que o elétron esteja presente exatamente 50% do tempo.

Nível de Fermi em Semicondutores

Semicondutores intrínsecos são semicondutores puros que não possuem impurezas. Como resultado, eles são caracterizados por uma chance igual de encontrar um buraco em comparação com um elétron. Isso, por sua vez, implica que eles têm o nível de Fermi exatamente entre as bandas de condução e valência, conforme mostrado na Figura 1a.

Em seguida, considere o caso de um semicondutor tipo n. Aqui, pode-se esperar que haja um maior número de elétrons em comparação com os buracos. Isso significa que há uma maior chance de encontrar um elétron próximo à banda de condução do que de encontrar um buraco na banda de valência. Assim, esses materiais têm seu nível de Fermi localizado mais próximo à banda de condução, conforme mostrado na Figura 1b.
Seguindo os mesmos princípios, pode-se esperar que o nível de Fermi no caso de semicondutores tipo p esteja presente próximo à banda de valência (Figura 1c). Isso ocorre porque esses materiais carecem de elétrons, ou seja, têm um maior número de buracos, o que torna a probabilidade de encontrar um buraco na banda de valência maior em comparação com a de encontrar um elétron na banda de condução.

Efeito da temperatura na função de distribuição Fermi-Dirac

A T = 0 K, os elétrons terão baixa energia e, portanto, ocuparão estados de energia mais baixos. O estado de energia mais alto entre esses estados ocupados é referido como nível de Fermi. Isso, por sua vez, significa que nenhum estado de energia que esteja acima do nível de Fermi é ocupado por elétrons. Assim, temos uma função degrau definindo a função de distribuição Fermi-Dirac, conforme mostrado pela curva preta na Figura 2.
No entanto, à medida que a temperatura aumenta, os elétrons ganham cada vez mais energia, devido ao qual eles podem até subir à banda de condução. Portanto, em temperaturas mais altas, não se pode distinguir claramente entre os estados ocupados e não ocupados, conforme indicado pelas curvas azul e vermelha mostradas na Figura 2.

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