Функция распределения Ферми-Дирака

Функции распределения — это функции плотности вероятности, используемые для описания вероятности, с которой частица может занимать определенный энергетический уровень. Когда мы говорим о функции распределения Ферми-Дирака, нас особенно интересует вероятность обнаружения фермиона в определенном энергетическом состоянии атома (более подробную информацию можно найти в статье “Энергетические уровни атома”). Здесь под фермионами мы понимаем электроны атома, которые являются частицами с полуцелым спином, подчиняющимися принципу исключения Паули.

Необходимость функции распределения Ферми-Дирака

В таких областях, как электроника, одним из важнейших факторов является проводимость материалов. Эта характеристика материала определяется числом свободных электронов, способных проводить электричество.

Согласно теории энергетических зон (см. статью “Энергетические зоны в кристаллах” для получения дополнительной информации), это число электронов, составляющих зону проводимости рассматриваемого материала. Таким образом, чтобы иметь представление о механизме проводимости, необходимо знать концентрацию носителей заряда в зоне проводимости.

Выражение функции распределения Ферми-Дирака

Математически вероятность нахождения электрона в энергетическом состоянии E при температуре T выражается следующим образом:

Где,

k — постоянная Больцмана
T — абсолютная температура
Ef — уровень Ферми или энергия Ферми

Теперь давайте попытаемся понять, что такое уровень Ферми. Для этого подставим

в уравнение (1). В результате получим,

Это означает, что уровень Ферми — это уровень, на котором можно ожидать присутствие электрона ровно 50% времени.

Уровень Ферми в полупроводниках

Внутренние полупроводники — это чистые полупроводники, которые не содержат примесей. В результате они характеризуются равными шансами обнаружения дырки и электрона. Это, в свою очередь, означает, что их уровень Ферми находится точно между зоной проводимости и валентной зоной, как показано на рисунке 1a.

Рассмотрим теперь случай n-типа полупроводника. Здесь можно ожидать большего числа электронов по сравнению с дырками. Это означает, что вероятность обнаружения электрона ближе к зоне проводимости выше, чем вероятность обнаружения дырки в валентной зоне. Таким образом, эти материалы имеют свой уровень Ферми, расположенный ближе к зоне проводимости, как показано на рисунке 1b.
По аналогичным основаниям можно ожидать, что уровень Ферми в случае p-типа полупроводников будет находиться ближе к валентной зоне (рисунок 1c). Это связано с тем, что эти материалы недостаточно электронов, т. е. в них больше дырок, что делает вероятность обнаружения дырки в валентной зоне выше, чем вероятность обнаружения электрона в зоне проводимости.

Влияние температуры на функцию распределения Ферми-Дирака

При T = 0 K электроны имеют низкую энергию и занимают состояния с низкой энергией. Наивысшее энергетическое состояние среди этих занятых состояний называется уровнем Ферми. Это, в свою очередь, означает, что энергетические состояния, лежащие выше уровня Ферми, не заняты электронами. Таким образом, мы имеем ступенчатую функцию, определяющую функцию распределения Ферми-Дирака, как показано черной кривой на рисунке 2.
Однако с увеличением температуры электроны приобретают все больше энергии, благодаря чему могут даже переходить в зону проводимости. Таким образом, при высоких температурах нельзя четко различить занятые и незанятые состояния, как показано синей и красной кривыми на рисунке 2.

Заявление: Уважайте оригинальные, ценные статьи, которые стоит делиться, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.