Fermi-Dirac fordelingsfunktion

Fordelingsfunktioner er ikke andet end sandsynlighedstæthedsfunktioner, der bruges til at beskrive sandsynligheden for, at en bestemt partikel kan optage en bestemt energiniveau. Når vi taler om Fermi-Dirac-fordelingsfunktion, er vi specielt interesseret i at vide, hvad chancen er for at finde en fermion på et bestemt energiniveau i et atom (mere information om dette kan findes i artiklen “Atomenerginiveauer”). Her mener vi med fermioner elektronerne i et atom, som er de partikler med ½ spin, bundet af Paulis udelukkelsesprincip.

Nødvendighed af Fermi-Dirac-fordelingsfunktion

I felter som elektronik er en bestemt faktor, der har høj prioritet, materialernes ledeevne. Dette karaktertræk hos materialet skyldes antallet af frie elektroner i materialet, der kan lede strøm.

Ifølge energibåndteori (se artiklen “Energi-bånd i krystaller” for mere information) er det disse elektroner, der udgør materialets ledningsbånd. For at have en idé om ledningsmekanismen er det nødvendigt at kende koncentrationen af bærere i ledningsbåndet.

Fermi-Dirac-fordelingsudtryk

Matematisk udtrykkes sandsynligheden for at finde et elektron i energitilstanden E ved temperaturen T som

Hvor,

er Boltzmanns konstant
T er den absolutte temperatur
Ef er Fermi-niveauet eller Fermi-energien

Lad os nu prøve at forstå betydningen af Fermi-niveauet. For at gøre dette, sæt

i ligning (1). Ved at gøre dette, får vi,

Dette betyder, at Fermi-niveauet er det niveau, hvor man kan forvente, at elektronet er til stede nøyagtigt 50% af tiden.

Fermi-niveau i halvledere

Intrinsiske halvledere er rene halvledere, som ikke har impuriteter i dem. Derfor er de karakteriseret ved en lige chance for at finde et huller som for at finde et elektron. Dette implikerer, at de har Fermi-niveauet nøjagtigt mellem lednings- og valensbåndet, som vist på figur 1a.

Overvej derefter tilfældet for en n-type halvleder. Her kan man forvente flere elektroner til at være til stede i forhold til hullerne. Dette betyder, at der er en større chance for at finde et elektron nær ledningsbåndet end for at finde et huller i valensbåndet. Således har disse materialer deres Fermi-niveau placeret nærmere ledningsbåndet, som vist på figur 1b.
På samme grundlag kan man forvente, at Fermi-niveauet i tilfældet af p-type halvledere er placeret nær valensbåndet (figur 1c). Dette skyldes, at disse materialer mangel på elektroner, dvs. de har flere huller, hvilket gør sandsynligheden for at finde et huller i valensbåndet større i forhold til at finde et elektron i ledningsbåndet.

Effekten af temperatur på Fermi-Dirac-fordelingsfunktionen

Ved T = 0 K har elektronerne lav energi og befinder sig derfor i lavere energitilstande. Den højeste energitilstand blandt disse optagede tilstande refereres til som Fermi-niveauet. Dette betyder, at ingen energitilstande, der ligger over Fermi-niveauet, er optaget af elektroner. Således har vi en trappefunktion, der definerer Fermi-Dirac-fordelingsfunktionen, som vist af den sorte kurve i figur 2.
Da temperaturen stiger, opnår elektronerne mere og mere energi, hvilket giver dem mulighed for at stige til ledningsbåndet. Således kan man ved højere temperaturer ikke klart skelne mellem de optagede og de uoptagede tilstande, som indikeres af de blå og røde kurver i figur 2.

Erklæring: Respektér det originale, godt indhold fortjener at deles, ved krænkelse kontakt os for sletning.