تابع توزیع فرمی-دیراک

توزیع‌ها نه تنها توابع چگالی احتمالی هستند که برای توصیف احتمال اشغال یک سطح انرژی خاص توسط یک ذره خاص استفاده می‌شوند. وقتی از توابع توزیع فرمی-دیراک صحبت می‌کنیم، به طور خاص علاقمندیم بدانیم که چقدر احتمال دارد یک فرمیون در یک وضعیت انرژی خاص از یک اتم پیدا شود (اطلاعات بیشتر در مقاله “وضعیت‌های انرژی اتمی” موجود است). در اینجا با فرمیون‌ها، منظور الکترون‌های یک اتم هستند که ذراتی با چرخش ۱/۲ هستند و به اصل استثنای پائولی محکوم هستند.

لزوم تابع توزیع فرمی-دیراک

در زمینه‌هایی مانند الکترونیک، یک عامل مهم خاص وجود دارد که رسانایی مواد است. این ویژگی ماده از تعداد الکترون‌های آزاد در ماده برای رسانایی برق ناشی می‌شود.

بر اساس نظریه باندهای انرژی (به مقاله “باندهای انرژی در بلورها” مراجعه کنید)، این تعداد الکترون‌ها که باند رسانایی ماده را تشکیل می‌دهند. بنابراین برای درک مکانیسم رسانایی، لازم است که غلظت حامل‌ها در باند رسانایی را بشناسیم.

عبارت توزیع فرمی-دیراک

به صورت ریاضی، احتمال یافتن یک الکترون در وضعیت انرژی E در دما T به صورت زیر بیان می‌شود

که در آن،

k ثابت بولتزمن است
T دما مطلق است
Ef سطح فرمی یا انرژی فرمی است

حال، سعی کنیم معنای سطح فرمی را درک کنیم. برای انجام این کار، قرار دهید

در معادله (1). با انجام این کار، بدست می‌آوریم،

این بدان معناست که سطح فرمی سطحی است که می‌توان انتظار داشت الکترون دقیقاً ۵۰٪ از زمان در آن حضور داشته باشد.

سطح فرمی در نیمه‌رساناها

نیمه‌رساناها ذاتی نیمه‌رساناها خالص هستند که هیچ آلودگی در آنها وجود ندارد. بنابراین، آنها با احتمال برابر یافتن یک سوراخ به جای یک الکترون مشخص می‌شوند. این به نوبه خود به این معناست که آنها سطح فرمی را دقیقاً بین باندهای رسانایی و والانس دارند، مانند آنچه در شکل ۱a نشان داده شده است.

سپس، مورد یک نیمه‌رسانا نوع n را در نظر بگیرید. در اینجا، می‌توان انتظار داشت که تعداد بیشتری الکترون در مقایسه با سوراخ‌ها وجود داشته باشد. این به این معناست که احتمال یافتن یک الکترون نزدیک به باند رسانایی بیشتر از یافتن یک سوراخ در باند والانس است. بنابراین، این مواد سطح فرمی خود را نزدیک به باند رسانایی دارند، مانند آنچه در شکل ۱b نشان داده شده است.
با توجه به همان موارد، می‌توان انتظار داشت که سطح فرمی در مورد نیمه‌رسانا نوع p نزدیک به باند والانس باشد (شکل ۱c). این به این دلیل است که، این مواد کمبود الکترون دارند یعنی تعداد بیشتری سوراخ دارند که احتمال یافتن یک سوراخ در باند والانس بیشتر از یافتن یک الکترون در باند رسانایی است.

اثر دما بر تابع توزیع فرمی-دیراک

در T = 0 K، الکترون‌ها انرژی کمی دارند و بنابراین وضعیت‌های انرژی پایین‌تر را اشغال می‌کنند. بالاترین وضعیت انرژی بین این وضعیت‌های اشغال شده به عنوان سطح فرمی شناخته می‌شود. این به نوبه خود به این معناست که هیچ وضعیت انرژی که بالاتر از سطح فرمی قرار دارد توسط الکترون‌ها اشغال نمی‌شود. بنابراین ما یک تابع پله‌ای داریم که تابع توزیع فرمی-دیراک را تعریف می‌کند، مانند آنچه توسط منحنی سیاه در شکل ۲ نشان داده شده است.
با افزایش دما، الکترون‌ها انرژی بیشتری به دست می‌آورند و بنابراین می‌توانند حتی به باند رسانایی بالا روند. بنابراین در دماهای بالاتر، نمی‌توان به وضوح بین وضعیت‌های اشغال شده و غیراشغال شده تمایز قائل شد، مانند آنچه توسط منحنی‌های آبی و قرمز در شکل ۲ نشان داده شده است.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر نقض حق تکثیری وجود دارد لطفاً با ما تماس بگیرید تا حذف شود.