Функція розподілу Фермі-Дірака

Функції розподілу є нічим іншим, як функціями густини ймовірності, використовуваними для опису ймовірності, з якою певна частинка може зайняти певний енергетичний рівень. Коли ми говоримо про функцію розподілу Фермі-Дірака, нас особливо цікавить шанс знайти ферміон на певному енергетичному рівні атома (більше інформації на цю тему можна знайти у статті “Енергетичні рівні атома”). Тут під ферміонами ми маємо на увазі електрони атому, які є частинками з спіном ½, пов’язаними з принципом виключення Паулі.

Необхідність функції розподілу Фермі-Дірака

У таких областях, як електроніка, одним з найважливіших факторів є провідність матеріалів. Ця характеристика матеріалу визначається кількістю електронів, які вільні в середині матеріалу для проводження електричного струму.

Згідно з теорією енергетичних зон (див. статтю “Енергетичні зони в кристалах” для додаткової інформації), це кількість електронів, які становлять провідну зону матеріалу. Отже, для того, щоб мати уявлення про механізм проводження, необхідно знати концентрацію носіїв заряду в провідній зоні.

Вираз функції розподілу Фермі-Дірака

Математично ймовірність знайти електрон на енергетичному рівні E при температурі T виражається як

де,

k — постійна Больцмана
T — абсолютна температура
Ef — рівень Фермі або енергія Фермі

Тепер спробуємо зрозуміти значення рівня Фермі. Для цього покладемо

до рівняння (1). Роблячи так, ми отримуємо,

Це означає, що рівень Фермі — це рівень, на якому можна очікувати, що електрон буде присутній точно 50% часу.

Рівень Фермі в напівпровідниках

Внутрішні напівпровідники — це чисті напівпровідники, які не мають примісей. В результаті, вони характеризуються однаковою ймовірністю знайти дірку, як і електрон. Це, в свою чергу, означає, що вони мають рівень Фермі точно між провідною та валентною зонами, як показано на малюнку 1а.

Наступне, розглянемо випадок n-типового напівпровідника. Тут можна очікувати більшу кількість електронів порівняно з дірками. Це означає, що ймовірність знайти електрон ближче до провідної зони більша, ніж знайти дірку в валентній зоні. Таким чином, ці матеріали мають свій рівень Фермі, розташований ближче до провідної зони, як показано на малюнку 1б.
На основі цих ж самих міркувань, можна очікувати, що рівень Фермі у випадку p-типового напівпровідника буде розташований ближче до валентної зони (малюнок 1с). Це тому, що ці матеріали мають менше електронів, тобто більше дірок, що робить ймовірність знайти дірку в валентній зоні більшою, ніж знайти електрон в провідній зоні.

Вплив температури на функцію розподілу Фермі-Дірака

При T = 0 K електрони матимуть низьку енергію і, відповідно, займатимуть нижчі енергетичні рівні. Найвищий енергетичний рівень серед цих зайнятих станів називається рівнем Фермі. Це, в свою чергу, означає, що жодні енергетичні рівні, що лежать вище рівня Фермі, не зайняті електронами. Таким чином, ми маємо ступінчасту функцію, яка визначає функцію розподілу Фермі-Дірака, як показано чорною кривою на малюнку 2.
Однак, зі зростанням температури, електрони набирають все більше енергії, завдяки чому вони можуть переходити в провідну зону. Тому при вищих температурах неможливо чітко відрізняти зайняті від незайнятих станів, як показано синіми та червоними кривими на малюнку 2.

Заява: Поважайте оригінал, хороші статті варто поширювати, якщо є порушення авторських прав, будь ласка, зверніться для видалення.