Συνάρτηση Κατανομής Fermi-Dirac

Οι συναρτήσεις κατανομής είναι τίποτα άλλο από συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την πιθανότητα με την οποία ένα συγκεκριμένο σωματίδιο μπορεί να καταλάβει ένα συγκεκριμένο ενεργειακό επίπεδο. Όταν αναφέρεται στη συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac, είμαστε ειδικά ενδιαφερόμενοι να γνωρίζουμε την πιθανότητα με την οποία μπορούμε να βρούμε ένα fermion σε ένα συγκεκριμένο ενεργειακό κατάστημα ενός ατόμου (περισσότερες πληροφορίες γι' αυτό μπορούν να βρεθούν στο άρθρο “Ενεργειακά Επίπεδα Ατόμων”). Εδώ, με fermions εννοούμε τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου, τα οποία είναι σωματίδια με ½ σπίν, που είναι υπόδειξη της αρχής του Pauli.

Ανάγκη της Συνάρτησης Κατανομής Fermi-Dirac

Σε πεδία όπως η ηλεκτρονική, ένα συγκεκριμένο παράγοντας που είναι ιδιαίτερης σημασίας είναι η διαγωνιστικότητα των υλικών. Αυτή η ιδιότητα του υλικού προκύπτει από τον αριθμό των ηλεκτρονίων που είναι ελεύθερα στο υλικό για να διαγωνίζουν ηλεκτρισμό.

Σύμφωνα με τη θεωρία των ενεργειακών ζωνών (ανατρέξτε στο άρθρο “Ενεργειακές Ζώνες σε Κρύσταλλους” για περισσότερες πληροφορίες), αυτά είναι τα ηλεκτρόνια που συνθέτουν τη διαγωνιστική ζώνη του υλικού. Έτσι, για να έχουμε έναν ιδέα για τη διαγωνιστική μηχανική, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τη συγκέντρωση των φορέων στη διαγωνιστική ζώνη.

Εκφώνηση της Συνάρτησης Κατανομής Fermi-Dirac

Μαθηματικά, η πιθανότητα εύρεσης ενός ηλεκτρονίου στο ενεργειακό κατάστημα E στη θερμοκρασία T εκφράζεται ως

Όπου,

είναι η σταθερά Boltzmann
T είναι η απόλυτη θερμοκρασία
Ef είναι το επίπεδο Fermi ή η ενέργεια Fermi

Τώρα, ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τη σημασία του επιπέδου Fermi. Για να το επιτύχουμε, βάλτε

στην εξίσωση (1). Κάνοντας αυτό, παίρνουμε,

Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο Fermi είναι το επίπεδο στο οποίο μπορεί να προσδοκάτε το ηλεκτρόνιο να είναι παρόν ακριβώς 50% της χρονικής διάρκειας.

Επίπεδο Fermi σε Ημιαγωγούς

Οι ημιαγωγοί εγγενής είναι ημιαγωγοί χωρίς ενδοστοιχεία. Ως εκ τούτου, χαρακτηρίζονται από ίση πιθανότητα εύρεσης ενός τρύπαντα όπως και ενός ηλεκτρονίου. Αυτό σημαίνει ότι έχουν το επίπεδο Fermi ακριβώς μεταξύ της διαγωνιστικής και της αξιοποιητικής ζώνης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1a.

Επόμενο, θεωρήστε την περίπτωση ενός ημιαγωγού n-τύπου. Εδώ, μπορείτε να προσδοκάτε περισσότερα ηλεκτρόνια να είναι παρόντα σε σύγκριση με τα τρύπαντα. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο κοντά στη διαγωνιστική ζώνη από το να βρεθεί ένα τρύπαντα στην αξιοποιητική ζώνη. Έτσι, αυτά τα υλικά έχουν το επίπεδο Fermi πιο κοντά στη διαγωνιστική ζώνη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1b.
Συνεχίζοντας με τις ίδιες βάσεις, μπορείτε να προσδοκάτε το επίπεδο Fermi στην περίπτωση ημιαγωγών p-τύπου να είναι πιο κοντά στην αξιοποιητική ζώνη (Σχήμα 1c). Αυτό επειδή, αυτά τα υλικά λείπουν ηλεκτρόνια, δηλαδή έχουν περισσότερα τρύπαντα, που κάνει την πιθανότητα εύρεσης τρύπαντα στην αξιοποιητική ζώνη μεγαλύτερη σε σύγκριση με την πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίων στη διαγωνιστική ζώνη.

Επίδραση της θερμοκρασίας στη Συνάρτηση Κατανομής Fermi-Dirac

Στη θερμοκρασία T = 0 K, τα ηλεκτρόνια θα έχουν χαμηλή ενέργεια και, επομένως, θα καταλάβουν χαμηλότερα ενεργειακά καταστήματα. Το υψηλότερο ενεργειακό κατάστημα μεταξύ αυτών των κατειλημμένων καταστημάτων αναφέρεται ως επίπεδο Fermi. Αυτό σημαίνει ότι κανένα ενεργειακό κατάστημα που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο Fermi δεν είναι κατειλημμένο από ηλεκτρόνια. Έτσι, έχουμε μια σταθμική συνάρτηση που ορίζει τη συνάρτηση κατανομής Fermi-Dirac όπως φαίνεται από τη μαύρη καμπύλη στο Σχήμα 2.
Ωστόσο, καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, τα ηλεκτρόνια αποκτούν περισσότερη ενέργεια, επομένως μπορούν να ανεβούν ακόμη και στη διαγωνιστική ζώνη. Έτσι, σε υψηλότερες θερμοκρασίες, δεν μπορεί κανείς να διακρίνει σαφώς μεταξύ των κατειλημμένων και των μη κατειλημμένων καταστημάτων, όπως δείχνουν οι μπλε και κόκκινες καμπύλες στο Σχήμα 2.

Δήλωση: Σεβαστείτε το πρωτότυπο, καλά άρθρα αξίζουν να μοιραστούν, αν υπάρχει παραβίαση πνευματικών δικαιωμάτων επικοινωνήστε για διαγραφή.