Función de Distribución Fermi-Dirac

Las funciones de distribución no son más que las funciones de densidad de probabilidad utilizadas para describir la probabilidad con la cual una partícula particular puede ocupar un nivel de energía específico. Cuando hablamos de la función de distribución Fermi-Dirac, estamos particularmente interesados en conocer la posibilidad de encontrar un fermión en un estado de energía específico de un átomo (más información sobre esto se puede encontrar en el artículo “Niveles de Energía Atómica”). Aquí, por fermiones, nos referimos a los electrones de un átomo, que son partículas con spin ½, sujetas al principio de exclusión de Pauli.

Necesidad de la Función de Distribución Fermi-Dirac

En campos como la electrónica, un factor particular de suma importancia es la conductividad de los materiales. Esta característica del material se debe al número de electrones que están libres dentro del material para conducir electricidad.

Según la teoría de bandas de energía (consulta el artículo “Bandas de Energía en Cristales” para obtener más información), estos son el número de electrones que constituyen la banda de conducción del material considerado. Por lo tanto, para tener una idea sobre el mecanismo de conducción, es necesario conocer la concentración de los portadores en la banda de conducción.

Expresión de la Distribución Fermi-Dirac

Matemáticamente, la probabilidad de encontrar un electrón en el estado de energía E a la temperatura T se expresa como

Donde,

k es la constante de Boltzmann
T es la temperatura absoluta
Ef es el nivel de Fermi o la energía de Fermi

Ahora, intentemos comprender el significado del nivel de Fermi. Para lograrlo, pongamos

en la ecuación (1). Al hacerlo, obtenemos,

Esto significa que el nivel de Fermi es el nivel en el que se puede esperar que el electrón esté presente exactamente 50% del tiempo.

Nivel de Fermi en Semiconductores

Los semiconductores intrínsecos son semiconductores puros que no tienen impurezas. Como resultado, se caracterizan por una igual probabilidad de encontrar un hueco que un electrón. Esto a su vez implica que tienen el nivel de Fermi exactamente entre las bandas de conducción y valencia, como se muestra en la Figura 1a.

A continuación, consideremos el caso de un semiconductor tipo n. Aquí, se puede esperar que haya más electrones presentes en comparación con los huecos. Esto significa que hay una mayor probabilidad de encontrar un electrón cerca de la banda de conducción que de encontrar un hueco en la banda de valencia. Por lo tanto, estos materiales tienen su nivel de Fermi ubicado más cerca de la banda de conducción, como se muestra en la Figura 1b.
Siguiendo la misma lógica, se puede esperar que el nivel de Fermi en el caso de semiconductores tipo p esté presente cerca de la banda de valencia (Figura 1c). Esto se debe a que estos materiales carecen de electrones, es decir, tienen un mayor número de huecos, lo que hace que la probabilidad de encontrar un hueco en la banda de valencia sea mayor en comparación con la de encontrar un electrón en la banda de conducción.

Efecto de la temperatura en la Función de Distribución Fermi-Dirac

A T = 0 K, los electrones tendrán baja energía y, por lo tanto, ocuparán estados de energía más bajos. El estado de energía más alto entre estos estados ocupados se refiere como nivel de Fermi. Esto a su vez significa que ningún estado de energía que se encuentre por encima del nivel de Fermi está ocupado por electrones. Así, tenemos una función escalonada que define la función de distribución Fermi-Dirac como se muestra por la curva negra en la Figura 2.
Sin embargo, a medida que la temperatura aumenta, los electrones ganan cada vez más energía, lo que les permite incluso subir a la banda de conducción. Por lo tanto, a temperaturas más altas, no se puede distinguir claramente entre los estados ocupados y no ocupados, como lo indican las curvas azul y roja en la Figura 2.

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