페르미-디랙 분포 함수

분포 함수는 특정 입자가 특정 에너지 레벨을 차지할 확률을 설명하는 확률 밀도 함수입니다. 페르미-디랙 분포 함수에 대해 이야기할 때, 우리는 특히 원자 내의 특정 에너지 상태에서 페르미온을 찾을 수 있는 확률에 관심이 있습니다 (더 많은 정보는 “원자 에너지 상태” 기사에서 확인할 수 있습니다). 여기서 페르미온은 폴리 배제 원칙에 따라 결합된 ½ 스핀을 가진 전자를 의미합니다.

페르미-디랙 분포 함수의 필요성

전자 공학과 같은 분야에서 가장 중요한 요소 중 하나는 재료의 도전성입니다. 이 재료 특성은 재료 내에서 자유롭게 전기를 전도하는 전자의 수로 결정됩니다.

에너지 밴드 이론에 따르면 (더 많은 정보는 “결정 내의 에너지 밴드” 기사 참조), 이러한 전자는 고려되는 재료의 전도 밴드를 구성합니다. 따라서 전도 메커니즘을 이해하기 위해서는 전도 밴드 내의 캐리어 농도를 알아야 합니다.

페르미-디랙 분포 표현식

수학적으로 온도 T에서 에너지 상태 E에서 전자를 찾을 확률은 다음과 같이 표현됩니다

여기서,

k는 볼츠만 상수
T는 절대 온도
Ef는 페르미 수준 또는 페르미 에너지

이제, 페르미 수준의 의미를 이해해보겠습니다. 이를 위해

방정식 (1)에 대입합니다. 이렇게 하면 다음과 같습니다

이는 페르미 수준이 전자가 정확히 50%의 시간 동안 존재할 것으로 예상되는 수준임을 의미합니다.

반도체에서의 페르미 수준

본질 반도체는 순수한 반도체로서 불순물이 없습니다. 결과적으로, 전자를 찾을 확률과 구멍을 찾을 확률이 동일합니다. 이는 그들이 도전 밴드와 발렌스 밴드 사이에 정확히 페르미 수준을 가지고 있음을 의미하며, 이는 Figure 1a에 표시되어 있습니다.

다음으로, n형 반도체의 경우를 고려해봅니다. 여기서는 구멍보다 더 많은 전자를 발견할 수 있을 것입니다. 이는 도전 밴드 근처에서 전자를 찾을 가능성이 발렌스 밴드에서 구멍을 찾을 가능성보다 크다는 것을 의미합니다. 따라서 이러한 재료는 도전 밴드 근처에 페르미 수준이 위치하게 됩니다 (Figure 1b 참조).
동일한 논리에 따라, p형 반도체의 경우, 구멍이 많아 발렌스 밴드 근처에 페르미 수준이 위치하게 됩니다 (Figure 1c 참조). 이는 이러한 재료가 전자를 부족하게 하여 발렌스 밴드에서 구멍을 찾을 확률이 도전 밴드에서 전자를 찾을 확률보다 크다는 것을 의미합니다.

온도가 페르미-디랙 분포 함수에 미치는 영향

T = 0 K에서, 전자들은 낮은 에너지를 가지며 따라서 낮은 에너지 상태를 차지합니다. 이러한 차지된 상태 중 가장 높은 에너지 상태는 페르미 수준으로 알려져 있습니다. 이는 페르미 수준 위에 있는 에너지 상태는 전자들에 의해 차지되지 않음을 의미합니다. 따라서 Figure 2의 검은 선으로 표시된 페르미-디랙 분포 함수는 계단 함수로 정의됩니다.
그러나 온도가 증가함에 따라, 전자들은 더 많은 에너지를 얻어 도전 밴드로 이동할 수 있게 됩니다. 따라서 높은 온도에서는 차지된 상태와 차지되지 않은 상태를 명확히 구분할 수 없습니다. 이는 Figure 2의 파란색과 빨간색 곡선에서 나타납니다.

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