Fermi-Dirac-fordelingsfunksjon

Fordelingsfunksjoner er ingenting annet enn sannsynlighetstetthetsfunksjoner som brukes for å beskrive sannsynligheten for at en partikkel kan befinne seg på et bestemt energinivå. Når vi snakker om Fermi-Dirac-fordelingsfunksjonen, er vi spesielt interessert i å vite sannsynligheten for å finne en fermion på et bestemt energinivå i et atom (mer informasjon om dette kan finnes i artikkelen “Atomenerginivåer”). Her mener vi med fermioner elektronene i et atom, som er partikler med ½ spin, bundet av Paulis utelukkelsesprinsipp.

Nødvendighet av Fermi-Dirac-fordelingsfunksjon

I felt som elektronikk er én spesiell faktor av høy vikt konduktiviteten til materialer. Denne egenskapen hos materialet oppstår gjennom antallet av elektroner som er frie innenfor materialet for å lede strøm.

Ifølge energibåndteorien (se artikkelen “Energiener i krystaller” for mer informasjon), er det disse elektronene som utgjør ledningsbåndet i det betrakte materialet. For å ha en ide over ledningsmekanismen, er det nødvendig å kjenne til konsentrasjonen av bærere i ledningsbåndet.

Fermi-Dirac-fordelingsuttrykk

Matematisk uttrykker sannsynligheten for å finne et elektron i energitilstanden E ved temperaturen T som følger:

Der,

er Boltzmann-konstanten
T er den absolutte temperaturen
Ef er Fermi-nivået eller Fermi-energien

La oss nå prøve å forstå betydningen av Fermi-nivået. For å oppnå dette, sett inn

i ligning (1). Ved å gjøre dette, får vi,

Dette betyr at Fermi-nivået er nivået der man kan forvente at elektronet er til stede nøyaktig 50% av tiden.

Fermi-nivå i halvledere

Intrinsiske halvledere er rene halvledere som ikke har noen forurensninger. Dermed karakteriseres de av en lik sjanse for å finne et hull som for å finne et elektron. Dette impliserer at de har Fermi-nivået nøyaktig midt mellom ledningsbåndet og valensebåndet, som vist i figur 1a.

Neste, betrakt tilfellet med en n-type halvleder. Her kan man forvente flere elektroner til å være til stede sammenlignet med hull. Dette betyr at det er større sjanse for å finne et elektron nær ledningsbåndet enn å finne et hull i valensebåndet. Således har disse materiale sine Fermi-nivå beliggende nærmere ledningsbåndet, som vist i figur 1b.
På samme måte kan man forvente at Fermi-nivået i tilfellet med p-type halvledere er beliggende nær valensebåndet (figur 1c). Dette skyldes at disse materiale mangler elektroner, dvs. de har flere hull, som gjør sannsynligheten for å finne et hull i valensebåndet større sammenlignet med å finne et elektron i ledningsbåndet.

Effekt av temperatur på Fermi-Dirac-fordelingsfunksjonen

Ved T = 0 K vil elektronene ha lav energi og dermed opptas i lavere energitilstander. Den høyeste energitilstanden blant disse opptatte tilstandene refereres til som Fermi-nivået. Dette betyr at ingen energitilstander som ligger over Fermi-nivået er opptatt av elektroner. Således har vi en trappelignende funksjon som definerer Fermi-Dirac-fordelingsfunksjonen, som vist av den svarte kurven i figur 2.
Imidlertid, når temperaturen øker, får elektronene mer og mer energi, noe som gjør at de kan endda stige til ledningsbåndet. Således, ved høyere temperaturer, kan man ikke klart skille mellom de opptatte og de uopptatte tilstandene, som indikert av de blå og røde kurvene vist i figur 2.

Erklæring: Respekt for originaliteten, god artikler verdt å deles, ved kränkning kontakt oss for sletting.