फर्मी-डिरैक वितरण समारोह

वितरण फ़ंक्शन केवल उन प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शनों को ही संदर्भित करते हैं जिनका उपयोग किसी विशेष कण के किसी विशेष ऊर्जा स्तर पर होने की प्रायिकता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। जब हम फ़ेर्मी-डिराक वितरण फ़ंक्शन के बारे में बात करते हैं, तो हम विशेष रूप से यह जानने में रुचि रखते हैं कि एक फ़ेर्मियन को एक परमाणु के एक विशिष्ट ऊर्जा स्तर पर पाने की कितनी संभावना है (इस पर अधिक जानकारी “परमाणु ऊर्जा स्तर” नामक लेख में प्राप्त की जा सकती है)। यहाँ, फ़ेर्मियन से हम इस अर्थ पर आते हैं कि एक परमाणु के इलेक्ट्रॉन, जो ½ स्पिन वाले कण हैं, जो पॉली अपवर्जन सिद्धांत से बंधे हुए हैं।

फ़ेर्मी-डिराक वितरण फ़ंक्शन की आवश्यकता

इलेक्ट्रॉनिक्स जैसे क्षेत्रों में, एक विशेष कारक जो प्रमुख महत्व का है, वह है सामग्रियों की चालकता। यह सामग्री की विशेषता सामग्री के अंदर विद्युत का चालन करने के लिए स्वतंत्र रूप से उपलब्ध इलेक्ट्रॉनों की संख्या से लाई जाती है।

ऊर्जा बैंड सिद्धांत के अनुसार (इसके लिए “क्रिस्टलों में ऊर्जा बैंड” नामक लेख को देखें), ये इलेक्ट्रॉन उस सामग्री के चालन बैंड का गठन करते हैं जिसे विचार किया जा रहा है। इसलिए चालन मेकानिज्म को समझने के लिए, चालन बैंड में चालकों की सांद्रता जानना आवश्यक है।

फ़ेर्मी-डिराक वितरण व्यंजक

गणितीय रूप से, ताप T पर E ऊर्जा स्तर पर इलेक्ट्रॉन को पाने की प्रायिकता निम्न प्रकार से व्यक्त की जाती है

जहाँ,

boltzmann नियतांक है
T निरपेक्ष ताप है
Ef फ़ेर्मी स्तर या फ़ेर्मी ऊर्जा है

अब, फ़ेर्मी स्तर के अर्थ को समझने का प्रयास करें। इसको पूरा करने के लिए, डालें

समीकरण (1) में। ऐसा करने से, हम प्राप्त करते हैं,

यह इसका अर्थ है कि फ़ेर्मी स्तर वह स्तर है जिस पर इलेक्ट्रॉन को ठीक 50% समय तक मौजूद रहने की अपेक्षा की जा सकती है।

अर्धचालकों में फ़ेर्मी स्तर

आंतरिक अर्धचालक वे शुद्ध अर्धचालक हैं जिनमें कोई दुष्प्रभाव नहीं होता। इस परिणामस्वरूप, उन्हें एक छेद को खोजने की बराबर संभावना होती है जितनी एक इलेक्ट्रॉन को खोजने की। यह अपने बारे में इंगित करता है कि उनका फ़ेर्मी-स्तर चालन और वैलेंस बैंड के बीच ठीक बीच में होता है, जैसा कि चित्र 1a द्वारा दिखाया गया है।

अगला, एक n-प्रकार के अर्धचालक के मामले को देखें। यहाँ, एक व्यक्ति छेदों की तुलना में अधिक इलेक्ट्रॉनों को उपस्थित पाएगा। यह इसका अर्थ है कि चालन बैंड के पास इलेक्ट्रॉन को खोजने की अधिक संभावना होती है जितनी वैलेंस बैंड में छेद को खोजने की। इसलिए, ये सामग्रियाँ अपने फ़ेर्मी-स्तर को चालन बैंड के पास रखती हैं, जैसा कि चित्र 1b द्वारा दिखाया गया है।
इसी तरह, एक व्यक्ति p-प्रकार के अर्धचालक के मामले में फ़ेर्मी-स्तर को वैलेंस बैंड के पास रख सकता है (चित्र 1c)। यह इसलिए है, क्योंकि ये सामग्रियाँ इलेक्ट्रॉनों की कमी से पीड़ित होती हैं, अर्थात् उनमें अधिक छेद होते हैं, जिससे वैलेंस बैंड में छेद को खोजने की अधिक संभावना होती है जितनी चालन बैंड में इलेक्ट्रॉन को खोजने की।

ताप पर फ़ेर्मी-डिराक वितरण फ़ंक्शन का प्रभाव

T = 0 K पर, इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा कम होती है और इसलिए वे कम ऊर्जा स्तरों को ग्रहण करते हैं। इन ग्रहण किए गए स्तरों में से सबसे ऊँचा ऊर्जा स्तर फ़ेर्मी स्तर के रूप में जाना जाता है। यह अपने बारे में इंगित करता है कि फ़ेर्मी स्तर से ऊपर कोई ऊर्जा स्तर इलेक्ट्रॉनों द्वारा ग्रहण नहीं किया जाता है। इसलिए हमारे पास एक स्टेप फ़ंक्शन होता है जो फ़ेर्मी-डिराक वितरण फ़ंक्शन को चित्र 2 में काले वक्र द्वारा दिखाता है।
हालाँकि जैसे-जैसे ताप बढ़ता जाता है, इलेक्ट्रॉन अधिक ऊर्जा प्राप्त करते हैं जिसके कारण वे चालन बैंड तक भी उठ सकते हैं। इसलिए उच्च ताप पर, ग्रहण किए गए और ग्रहण न किए गए स्तरों के बीच एक स्पष्ट अंतर नहीं देखा जा सकता, जैसा कि चित्र 2 में नीले और लाल वक्र द्वारा दिखाया गया है।

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