フェルミ・ディラック分布関数

分布関数とは、特定の粒子が特定のエネルギー準位を占める確率を記述するために使用される確率密度関数です。私たちはフェルミ・ディラック分布関数について話すとき、特に原子の特定のエネルギー状態でフェルミオンを見つける可能性に興味があります（この詳細については「原子のエネルギー状態」の記事を参照してください）。ここでフェルミオンとは、ポール排斥原理に従うスピン1/2を持つ電子を指します。

フェルミ・ディラック分布関数の必要性

電子工学などの分野では、材料の導電性は非常に重要な要素です。この特性は、材料内で自由に動く電子の数によってもたらされます。

エネルギーバンド理論によれば（詳細は「結晶のエネルギーバンド」の記事を参照）、これらの電子は考慮されている材料の伝導帯を構成しています。したがって、伝導メカニズムを理解するためには、伝導帯内のキャリア濃度を知る必要があります。

フェルミ・ディラック分布式

数学的には、温度Tにおいてエネルギー状態Eにある電子を見つける確率は次のように表されます

ここで、

kはボルツマン定数
Tは絶対温度
Efはフェルミレベルまたはフェルミエネルギー

では、フェルミレベルの意味を理解してみましょう。そのためには、

方程式(1)に代入します。これにより、

これは、フェルミレベルは電子が正確に50%の確率で存在すると期待できるレベルであることを意味します。

半導体におけるフェルミレベル

本質的な半導体は、純粋な半導体であり、不純物が含まれていません。そのため、電子と正孔を見つけられる確率は等しく、フェルミレベルは伝導帯と価電子帯の間に位置します（図1a）。

次に、n型半導体の場合を考えます。ここでは、電子の方が正孔よりも多く存在することが期待されます。つまり、伝導帯近くで電子を見つける確率が高いということです。したがって、これらの材料のフェルミレベルは伝導帯に近い位置にあります（図1b）。同様に、p型半導体の場合、正孔が多いため、価電子帯に近い位置にフェルミレベルがあります（図1c）。

温度によるフェルミ・ディラック分布関数への影響

T = 0 Kでは、電子は低エネルギーを持ち、低いエネルギー状態を占有します。これら占有状態の中で最も高いエネルギー状態がフェルミレベルと呼ばれます。つまり、フェルミレベル以上のエネルギー状態は電子によって占有されません。したがって、図2の黒線で示されるように、ステップ関数として定義されるフェルミ・ディラック分布関数があります。
しかし、温度が上昇すると、電子はより多くのエネルギーを得て、伝導帯まで上昇することができます。したがって、高温では、図2の青線と赤線で示されるように、占有状態と非占有状態を明確に区別することはできません。

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