Fermi-Dirac-fördelningsfunktion

Fördelningsfunktioner är inget annat än sannolikhetsdensitetsfunktioner som används för att beskriva sannolikheten med vilken en viss partikel kan uppta ett visst energinivå. När vi talar om Fermi-Dirac-fördelningsfunktion, är vi särskilt intresserade av att veta chansen att hitta en fermion i en viss energitillstånd hos ett atom (mer information om detta kan hittas i artikeln “Atomenerginivåer”). Här menar vi med fermioner elektronerna i en atom, vilka är partiklar med ½ spin, bundna till Paulis exklusionsprincip.

Nödvändigheten av Fermi-Dirac-fördelningsfunktion

Inom områden som elektronik är en viss faktor av primär betydelse, nämligen materialens ledningsförmåga. Denna egenskap hos materialet beror på antalet fria elektroner inuti materialet som kan leda elektricitet.

Enligt energibandteorin (se artikeln “Energiavsnitt i kristaller” för mer information) utgör dessa elektroner det ledande bandet av det materiale som betraktas. För att få en uppfattning om ledningsmekanismen är det därför nödvändigt att känna till bärarnas koncentration i det ledande bandet.

Fermi-Dirac-fördelningsuttryck

Matematiskt uttrycks sannolikheten att hitta en elektron i energitillstånd E vid temperaturen T som

Där,

är Boltzmannkonstanten
T är den absoluta temperaturen
Ef är Fermi-nivån eller Fermi-energin

Låt oss nu försöka förstå innebörden av Fermi-nivån. För att uppnå detta, sätt

i ekvation (1). Genom att göra detta får vi,

Detta betyder att Fermi-nivån är nivån där man kan förvänta sig att elektronen finns exakt 50% av tiden.

Fermi-nivå i halvledare

Intrinsiska halvledare är rena halvledare som inte har några impuriteter. Som ett resultat karaktäriseras de av lika stor chans att hitta ett hål som en elektron. Detta innebär att de har Fermi-nivån exakt mellan det ledande och valensbandet som visas i figur 1a.

Nästa, överväg fallet med en n-typ halvledare. Här kan man förvänta sig att fler elektroner finns jämfört med hål. Detta betyder att det finns större chans att hitta en elektron nära det ledande bandet än att hitta ett hål i valensbandet. Således har dessa material sin Fermi-nivå placerad nära det ledande bandet som visas i figur 1b.
På samma grunder kan man förvänta sig att Fermi-nivån i fallet med p-typ halvledare ska finnas nära valensbandet (figur 1c). Detta beror på att dessa material saknar elektroner, det vill säga de har fler hål vilket gör sannolikheten att hitta ett hål i valensbandet större jämfört med att hitta en elektron i det ledande bandet.

Effekten av temperatur på Fermi-Dirac-fördelningsfunktion

Vid T = 0 K kommer elektronerna ha låg energi och därmed uppta lägre energitillstånd. Det högsta energitillståndet bland dessa upptagna tillstånd refereras till som Fermi-nivån. Detta innebär att inga energitillstånd som ligger ovanför Fermi-nivån är upptagna av elektroner. Således har vi en trappfunktion som definierar Fermi-Dirac-fördelningsfunktion som visas av den svarta kurvan i figur 2.
Med ökande temperatur får elektronerna mer och mer energi, vilket gör att de kan stiga till det ledande bandet. Således vid högre temperaturer kan man inte tydligt skilja mellan de upptagna och de ej upptagna tillstånden som indikerats av de blå och röda kurvorna i figur 2.

Uttalande: Respektera det ursprungliga, godartade artiklarna som är värt delande, om det finns upphovsrättsintrång kontakta oss för borttagning.