פונקציית התפלגות פרמי דיראק

פונקציות התפלגות הן לא יותר מאשר פונקציות צפיפות הסתברות המשמשות לתיאור ההסתברות שחלקיק מסוים יכול להימצא בדרגת אנרגיה מסוימת. כשמדברים על פונקציית התפלגות פרמי-דיראק, אנו מתעניינים במיוחד בהסתברות למצוא פרמיון בדרגת אנרגיה מסוימת של אטום (לפרטים נוספים ניתן לקרוא בערך “דרגות אנרגיה אטומיות”). כאן, לפרמיונים אנו מתכוונים לאלקטרונים של אטום שהם חלקיקים עם ספין חצי, המוגבלים עקרון הפלח.

הצורך בפונקציית התפלגות פרמי-דיראק

בתחומים כמו אלקטרוניקה, גורם חשוב במיוחד הוא מוליכות החומרים. מאפיין זה של החומר נובע מספר האלקטרונים החופשיים בחומר המוליכים חשמל.

על פי תורת רצועות האנרגיה (לפרטים נוספים ראו בערך “רצועות אנרגיה בגבישים”), אלו הם מספר האלקטרונים המרכיבים את רצועת המוליכות של החומר הנחשב. לכן כדי לקבל מושג על механизм המוליכות, יש לדעת את הריכוז של המוליכים ברצועת המוליכות.

ביטוי פונקציית התפלגות פרמי-דיראק

מתמטית, ההסתברות למצוא אלקטרון במצב אנרגיה E בטמפרטורה T מתבטאת כ

כאשר,

k היא קבוע בולצמן
T היא הטמפרטורה המוחלטת
Ef היא רמת פרמי או אנרגיית פרמי

עכשיו, ננסה להבין את משמעות רמת פרמי. לשם כך, נכניס

במשוואה (1). בכך, נקבל,

זה אומר שרמת פרמי היא הרמה שבה ניתן לצפות שהאלקטרון יהיה קיים בדיוק 50% מהזמן.

רמת פרמי בסיליקונים

סיליקונים פנימיים הם סיליקונים טהורים ללא זיהומים. כתוצאה מכך, הם מאופיינים בהסתברות שווה למצוא חור כמו מצא אלקטרון. הדבר מרמז שיש להם רמת פרמי בדיוק בין רצועת המוליכות ורצועת הערכים כפי שמוצג בתמונה 1a.

כעת, נחשוב על מקרה של סיליקון מסוג n. כאן, ניתן לצפות במספר גדול יותר של אלקטרונים בהשוואה לחורים. זה אומר שיש הסתברות גדולה יותר למצוא אלקטרון קרוב לרצועת המוליכות מאשר למצוא חור ברצועת הערכים. לכן, החומרים הללו יש להם רמת פרמי ממוקמת קרוב לרצועת המוליכות כפי שמוצג בתמונה 1b.
בהמשך אותו השיקול, ניתן לצפות שרמת פרמי במקרה של סיליקון מסוג p תהיה קיימת קרוב לרצועת הערכים (תמונה 1c). זאת מכיוון שהחומרים הללו חסרים אלקטרונים, כלומר יש להם מספר גדול יותר של חורים שמאפשר הסתברות גבוהה יותר למצוא חור ברצועת הערכים מאשר למצוא אלקטרון ברצועת המוליכות.

השפעת הטמפרטורה על פונקציית התפלגות פרמי-דיראק

בטמפרטורה T = 0 K, האלקטרונים יש להם אנרגיה נמוכה ולכן הם תופסים מצבים של אנרגיה נמוכה. המצב הגבוה ביותר מבין המצבים המוכנסים הוא המרומז כרמת פרמי. הדבר מרמז שאין מצבים של אנרגיה מעל לרמת פרמי המוכנסים על ידי אלקטרונים. לכן יש לנו פונקציה של מדרגה המגדירה את פונקציית התפלגות פרמי-דיראק כפי שמוצגת על ידי העקומה השחורה בתמונה 2.
עם זאת, ככל שהטמפרטורה עולה, האלקטרונים מקבלים יותר ויותר אנרגיה עקב כך שהם יכולים אפילו לעלות לרצועת המוליכות. לכן בטמפרטורות גבוהות, אין אפשרות להבחין בבירור בין המצבים המוכנסים למצבים הפנויים כפי שמוצגים על ידי העקומות הכחולות והאדומות בתמונה 2.

הצהרה: יש לכבד את המקור, מאמרים טובים ראויים לחלוקה, במידה ויש הפרה אנא צור קשר לשינוי.