Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca

Funkcje rozkładu to nic innego jak funkcje gęstości prawdopodobieństwa używane do opisania prawdopodobieństwa, z jakim określona cząstka może zajmować określony poziom energetyczny. Gdy mówimy o funkcji rozkładu Fermiego-Diraca, jesteśmy szczególnie zainteresowani możliwością znalezienia fermionu w określonym stanie energetycznym atomu (więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule “Poziomy energetyczne atomowe”). Tutaj, przez fermiony, rozumiemy elektrony atomu, które są cząstkami o spinie ½, podlegającymi zasady wykluczania Paula.

Niezwykleść funkcji rozkładu Fermiego-Diraca

W dziedzinach takich jak elektronika, jednym z najważniejszych czynników jest przewodnictwo materiałów. Ta charakterystyka materiału wynika z liczby elektronów, które są wolne w materiale do przewodzenia prądu elektrycznego.

Zgodnie z teorią pasm energetycznych (zobacz artykuł “Pasma energetyczne w kryształach” dla więcej informacji), to są liczba elektronów, które tworzą pasmo przewodnictwa materiału pod uwagę. Aby mieć pojęcie o mechanizmie przewodzenia, konieczne jest zrozumienie stężenia nośników w pasmie przewodzenia.

Wyrażenie funkcji rozkładu Fermiego-Diraca

Matematycznie prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie energetycznym E przy temperaturze T jest wyrażone jako

Gdzie,

jest stałą Boltzmanna
T to temperatura bezwzględna
Ef to poziom Fermiego lub energia Fermiego

Teraz, spróbujmy zrozumieć znaczenie poziomu Fermiego. Aby tego dokonać, wprowadźmy

do równania (1). W rezultacie otrzymujemy,

To oznacza, że poziom Fermiego to poziom, na którym można spodziewać się obecności elektronu dokładnie 50% czasu.

Poziom Fermiego w półprzewodnikach

Wewnętrzne półprzewodniki to czyste półprzewodniki, które nie mają w sobie domieszków. W rezultacie charakteryzują się równym prawdopodobieństwem znalezienia dziury i elektronu. To oznacza, że mają poziom Fermiego dokładnie pomiędzy pasmem przewodzenia i walencyjnym, jak pokazuje Rysunek 1a.

Następnie, rozważmy przypadek półprzewodnika typu n. Tutaj można oczekiwać większej liczby elektronów w porównaniu z dziurami. Oznacza to, że jest większe prawdopodobieństwo znalezienia elektronu blisko pasma przewodzenia niż znalezienia dziury w pasmie walencyjnym. Dlatego te materiały mają swój poziom Fermiego zlokalizowany bliżej pasma przewodzenia, jak pokazuje Rysunek 1b.
Na podstawie tych samych założeń, można oczekiwać, że poziom Fermiego w przypadku półprzewodników typu p będzie obecny w pobliżu pasma walencyjnego (Rysunek 1c). Wynika to z faktu, że te materiały brakuje elektronów, czyli mają większą liczbę dziur, co sprawia, że prawdopodobieństwo znalezienia dziury w pasmie walencyjnym jest większe w porównaniu z prawdopodobieństwem znalezienia elektronu w pasmie przewodzenia.

Wpływ temperatury na funkcję rozkładu Fermiego-Diraca

Przy T = 0 K, elektrony mają niską energię i zatem zajmują stan energetyczny o niskiej energii. Najwyższy stan energetyczny wśród tych zajętych stanów nazywany jest poziomem Fermiego. To oznacza, że żaden stan energetyczny leżący powyżej poziomu Fermiego nie jest zajęty przez elektrony. W rezultacie mamy funkcję skokową definiującą funkcję rozkładu Fermiego-Diraca, jak pokazuje czarna krzywa na Rysunku 2.
Jednakże, gdy temperatura wzrasta, elektrony zdobywają coraz więcej energii, co pozwala im nawet przejść do pasma przewodzenia. W związku z tym, przy wyższych temperaturach, nie można jasno odróżnić stanów zajętych od niezajętych, jak wskazują niebieska i czerwona krzywe na Rysunku 2.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły są warte udostępniania, jeśli wystąpi naruszenie praw autorskich, proszę o kontakt w celu usunięcia.