RC 및 RL 회로에서 시간 상수 찾기

시간 상수란?

시간 상수는 일반적으로 그리스 문자 τ(타우)로 표시되며, 물리학과 공학에서 일차, 선형 시불변(LTI) 제어 시스템의 계단 입력에 대한 응답을 특성화하는 데 사용됩니다. 시간 상수는 일차 LTI 시스템의 주요 특성 단위입니다.

시간 상수는 일반적으로 RLC 회로의 응답을 특성화하는 데 사용됩니다.

이를 위해 RC 회로와 RL 회로의 시간 상수를 도출해 보겠습니다.

RC 회로의 시간 상수

다음과 같이 간단한 RC 회로를 고려해 보겠습니다.

kondensator가 초기에 충전되지 않았다고 가정하고, 스위치 S가 t = 0에서 닫혔다고 합시다. 스위치가 닫힌 후, 전류 i(t)가 회로를 통해 흐르기 시작합니다. 해당 단일 메쉬 회로에 대해 키르히호프 전압 법칙을 적용하면 다음과 같습니다.

양쪽을 시간 t에 대해 미분하면,

t = 0에서, kondensator는 단락으로 작동하므로, 스위치를 닫은 직후 회로를 통과하는 전류는 다음과 같습니다.

이 값을 식 (I)에 대입하면,

식 (I)에 k의 값을 대입하면,

이제, 최종 회로 전류 i(t)의 표현에 t = RC를 대입하면,

위 수학적 표현에서 알 수 있듯이 RC는 충전 중인 kondensator의 전류가 초깃값에서 36.7%로 감소하는 시간(초)입니다. 초깃값은 불변 kondensator를 켤 때의 전류를 의미합니다.

이 용어는 용량성 회로뿐만 아니라 유도 회로의 동작 분석에서도 매우 중요합니다. 이 용어는 시간 상수로 알려져 있습니다.

따라서 시간 상수는 용량성 회로를 통과하는 전류가 초깃값의 36.7%가 되는 데 걸리는 시간(초)입니다. 이 값은 회로의 저항과 용량 값의 곱과 수치적으로 같습니다. 시간 상수는 일반적으로 τ(타우)로 표시됩니다. 따라서,

복잡한 RC 회로에서 시간 상수는 회로의 등가 저항과 용량이 됩니다.

시간 상수의 중요성을 더 자세히 논의하기 위해, 먼저 전류 i(t)를 그려보겠습니다.

t = 0에서, kondensator 회로를 통과하는 전류는

t = RC에서, kondensator를 통과하는 전류는

다른 RC 회로를 고려해 보겠습니다.

위 회로의 KVL을 사용한 회로 방정식은,

그리고