Jak najít časovou konstantu v obvodech RC a RL
Co je časová konstanta?
Časová konstanta – obvykle označovaná řeckým písmenem τ (tau) – se používá v fyzice a inženýrství k charakterizaci odezvy na skokový vstup prvního řádu, lineárního časově invariantního (LTI) řídicího systému. Časová konstanta je hlavní charakteristickou jednotkou prvního řádu LTI systému.
Časová konstanta se běžně používá k charakterizaci odezvy RLC obvodu.
Abychom to udělali, odvodíme časovou konstantu pro RC obvod a časovou konstantu pro RL obvod.
Časová konstanta RC obvodu
Uvažujme jednoduchý RC obvod, jak je znázorněno níže.
Předpokládejme, že kapacitor je počátečně nezabit a přepínač S je zavřen v čase t = 0. Po zavření přepínače začne proud i(t) pramenit obvodem. Použitím Kirchhoffova zákona o napětí v tomto jednomeshovém obvodu, dostaneme,
Diferencováním obou stran podle času t, dostaneme,
Integrací obou stran dostaneme,
Nyní, v čase t = 0, kapacitor chová jako krátké spojení, takže hned po zavření přepínače, proud obvodem bude,
Nyní, dosazením této hodnoty do rovnice (I), dostaneme,
Dosazením hodnoty k do rovnice (I), dostaneme,
Nyní, pokud dosadíme t = RC do konečného vyjádření okamžitého proudu i(t), dostaneme,
Z tohoto matematického vyjádření je jasné, že RC je čas v sekundách, během kterého proud v nabíjejícím se kapacitátoru klesne na 36,7 % z jeho počáteční hodnoty. Počáteční hodnota znamená proud v okamžiku zapnutí nezměněného kapacitátoru.
Tento termín je velmi významný pro analýzu chování kapacitivních i induktivních obvodů. Tento termín se nazývá časová konstanta.
Takže časová konstanta je doba v sekundách, během které proud v kapacitivním obvodu klesne na 36,7 % své počáteční hodnoty. Tato hodnota je numericky rovna součinu odporu a kapacity obvodu. Časová konstanta se obvykle označuje symbolem τ (tau). Takže,
V komplexním RC obvodu bude časová konstanta ekvivalentní odporem a kapacitou obvodu.
Diskutujme význam časové konstanty podrobněji. Abychom to udělali, nejprve nakresleme proud i(t).
V čase t = 0, proud v kapacitátorovém obvodu je
V čase t = RC, proud v kapacitátorovém obvodu je
Uvažujme další RC obvod.
Obvodové rovnice pomocí KVL uvedených obvodů jsou,
